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2022-2023学年四川省资阳市简阳禾丰中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
参考答案:
B
2. 定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和,如果,那么( )
A.,
B.,
C.,
D.,
参考答案:
C 解析:
3. 设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题
①若a⊥b,a⊥α,则b∥α
②若a∥α,α⊥β,则a⊥β
③a⊥β,α⊥β,则a∥α
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β
其中正确的命题的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用;平面的基本性质及推论.
【分析】根据题意,结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b∈α②只有a与α,β的交线垂直,才能够推出a⊥β.③a可能在平面α内
④命题正确.
【解答】解:①可能b∈α,命题错误
②若α⊥β,只有a与α,β的交线垂直,才能够推出a⊥β,命题错误
③a可能在平面α内,命题错误
④命题正确.
故选B.
4. 圆上的一点到直线的最大距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
先求出圆心到直线距离,再加上圆的半径,就是圆上一点到直线的最大距离。
【详解】圆心(2,1)到直线的距离是,
所以圆上一点到直线最大距离为,故选D。
【点睛】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法,以及点到直线的距离公式。
5. 已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=﹣对称,则φ的可能取值是( )
A. B.﹣ C. D.
参考答案:
A
【考点】H6:正弦函数的对称性.
【分析】根据正弦函数的性质可知x=﹣时,函数y取值最值.即可求φ的可能取值.
【解答】解:函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=﹣对称,
∴当x=﹣时,函数y取值最值,即sin(2×x+φ)=±1.
可得φ﹣=,k∈Z.
∴φ=.
当k=0时,可得φ=.
故选:A.
【点评】本题考查正弦函数的对称轴性质的运用.属于基础题.
6. 在下列区间中,函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 已知函数 ,则 = ( )
A. B.3 C. D.
参考答案:
D
8. 已知,则()
A. 1 B. -1 C.2 D. -2
参考答案:
A
9. 已知向量,不共线, =k+(k∈R),=+,如果∥,那么( )
A.k=﹣1且与同向 B.k=﹣1且与反向
C.k=1且与同向 D.k=1且与反向
参考答案:
C
【考点】96:平行向量与共线向量.
【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出.
【解答】解:∵∥,∴存在实数λ使得k+=λ(+),
∵向量,不共线,∴k=λ,λ=1.
∴k=1且与同向.
故选:C.
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
10. 已知函数,若f(x)满足,则下列结论正确的是
A、函数f(x)的图象关于直线对称
B、函数f(x)的图象关于点对称
C、函数f(x)在区间上单调递增
D、存在,使函数为偶函数
参考答案:
C
设函数的最小正周期为,根据条件知,其中为正整数,于是,解得,又,则,,将代入,又知,所以,经验算C答案符合题意. 故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值
【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),
得 =2a,a=
∴y=f(x)=
∴f(9)=3.
故答案为:3.
12. 若函数y=f(x﹣1)的定义域为(1,2],则函数y=f(log2x)的定义域为 .
参考答案:
(1,2]
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】由函数y=f(x﹣1)的定义域为(1,2],得1<x≤2,即0<x﹣1≤1,则函数y=f(log2x)中,0<log2x≤1,由此能求出函数y=f(log2x)的定义域.
【解答】解:由函数y=f(x﹣1)的定义域为(1,2],
得1<x≤2,
∴0<x﹣1≤1.
∴函数y=f(log2x)中,0<log2x≤1,
∴1<x≤2.
则函数y=f(log2x)的定义域为(1,2].
故答案为:(1,2].
【点评】本题考查对数函数的定义域,解题时要认真审题,仔细解答,注意抽象函数的定义域的求法,是基础题.
13. 函数满足对任意成立,则a的取值范围是 .
参考答案:
略
14. 函数的最大值为
参考答案:
15. 已知实数x,y满足不等式组,则的取值范围为__________.
参考答案:
【分析】
作出可行域,表示与(0,0)连线的斜率,结合图形求出斜率的最小值,最大值即可求解.
【详解】
如图,不等式组表示的平面区域(包括边界),所以表示与(0,0)连线的斜率,因为,所以,故.
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题,涉及斜率的几何意义,数形结合的思想,属于中档题.
16. 已知,则的最小值是 .
参考答案:
17. 已知函数,则______________.
参考答案:
11
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)(I)求值:;
(Ⅱ)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且,当x∈[0,1]时,,求的值.
参考答案:
(I)0; ………………………………………………………………(6分)
(Ⅱ). ……………………(12分)
19. (13分)(2015秋?清远校级月考)若集合M={x|x2+x﹣6=0},N={x|(x﹣2)(x﹣a)=0},且N?M,求实数a的值.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【专题】计算题.
【分析】解一元二次方程求得M={2,﹣3},分a=2、a=3、a≠2且a≠﹣3三种情况分别求出求实数a的值,再取并集即得所求.
【解答】解:由x2+x﹣6=0 可得 x=2或﹣3;因此,M={2,﹣3}.
( i)若a=2时,得N={2},此时,满足条件N?M.
( ii)若a=﹣3时,得N={2,﹣3},此时,N=M;
( iii)若a≠2且a≠﹣3时,得N={2,a},此时,N不是M的子集;
故所求实数a的值为2或﹣3.
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.
20. 如图,某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向处,B岛在O岛的正东方向处.
(1)以O为坐标原点,O的正东方向为轴正方向,为单位长度,建立平面直角坐标系,写出A、B的坐标,并求A、B两岛之间的距离;
(2)已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛处,正沿着北偏东45°行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?
参考答案:
(1)、,()(2)该船有触礁的危险.详见解析
【分析】
(1)根据两点距离公式求解;(2)先用待定系数法求出圆方程和直线方程,再根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系.
【详解】解:(1)如图所示,
在的东北方向,在的正东方向,、,
由两点间的距离公式得();
(2)设过、、三点的圆的方程为,将、、
代入上式得,解得、、,
所以圆的方程为,圆心为,半径.
设船起初所在的位置为点,则,且该船航线所在直线的斜率为,
由点斜式得船航行方向为直线,
圆心到的距离为,
所以该船有触礁的危险.
【点睛】本题考查直线与圆的实际应用,点到直线的距离公式是常用方法;用待定系数法求圆方程时注意选用一般方程,能降低计算难度.
21. .(本小题满分10分)
定义在R上的函数是偶函数,当≥0时,.
(Ⅰ)当时,求的解析式;
(Ⅱ)求的最大值,并写出在R上的单调区间(不必证明)..
参考答案:
解:(Ⅰ)设<0,则,
,··············································· 2分
∵是偶函数,∴,
∴时, .······························································ 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,············································· 6分
∴开口向下,所以有最大值.················ 8分
函数的单调递增区间是(-∞,-1和[0,1];
单调递减区间是 [-1,0]和 [1,+∞. 10分
略
22. (本小题满分12分)已知数列{an}满足.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,解关于n的不等式.
参考答案:
(Ⅰ)由题意
故时,……………………1分
当时,
……3分
经检验 时,上式也成立
故数列的通项公式……………………4分
(Ⅱ)
左右两边同乘以,
得 ……6分
两式相减得
所以()………………8分
由………………9分
设则
故时,,数列单调递增;
故时,;
故时,,数列单调递减;………………11分
又,
故或且. ………………12分
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