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2022年江西省鹰潭市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A.A.
B.
C.
D.
8.
9. 设y=2x3,则dy=( ).
A.2x2dx
B.6x2dx
C.3x2dx
D.x2dx
10.
11.设函数y=f(x)二阶可导,且f(x)<0,f(x)<0,又△y=f(x+△x)-f(x), dy=f(x)△x,则当△x>0时,有( )
A.△y>dy>0
B.△Ay>0
D.dy<△y<0
12.
13.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上()
A.单调减少 B.单调增加 C.无最大值 D.无最小值
14.
15. 设y=2-cosx,则y'=
A.1-sinx B.1+sinx C.-sinx D.sinx
16.A.1
B.0
C.2
D.
17.一端固定,一端为弹性支撑的压杆,如图所示,其长度系数的范围为( )。
A.μ<0.7 B.μ>2 C.0.7<μ<2 D.不能确定
18.
19.设lnx是f(x)的一个原函数,则f'(x)=( )。
A.
B.
C.
D.
20.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.设y=1nx,则y'=__________.
24.
25.
26.
27.
28.
29.cosx为f(x)的一个原函数,则f(x)=______.
30.
31.
32.级数的收敛半径为______.
33.幂级数
的收敛半径为________。
34.
35.设区域D由曲线y=x2,y=x围成,则二重积分
36.
37.如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=________。
38.微分方程y"-y'-2y=0的通解为______.
39.设y=(1+x2)arctanx,则y=________。
40.
三、计算题(20题)
41. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
43. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
44.证明:
45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
48.
49.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
50.
51.
52.
53. 求微分方程的通解.
54.
55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
56.
57. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
58.
59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
60. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.已知某厂生产x件产品的成本为
问:若使平均成本最小,应生产多少件产品?
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.A
2.D解析:
3.B
4.D
5.A
6.D
7.D
本题考查的知识点为偏导数的计算.
可知应选D.
8.B
9.B 由微分基本公式及四则运算法则可求得.也可以利用dy=y′dx求得故选B.
10.A
11.B
12.B解析:
13.B因处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的,故在[-1,1]上单调增加.
14.D解析:
15.D解析:y=2-cosx,则y'=2'-(cosx)'=sinx。因此选D。
16.C
17.D
18.B
19.C
20.D
21.
22.2.
本题考查的知识点为二阶导数的运算.
23.
24.2
本题考查了定积分的知识点。
25.
26. 解析:
27.
28.0
29.-sinx
本题考查的知识点为原函数的概念.
由于cosx为f(x)的原函数,可知
f(x)=(cosx)'=-sinx.
30.y=x3+1
31.
32.
本题考查的知识点为幂级数的收敛半径.
所给级数为缺项情形,由于
33.所给幂级数为不缺项情形,可知ρ=1,因此收敛半径R==1。
34.
35.本题考查的知识点为计算二重积分.
积分区域D可以表示为:0≤x≤1,x2≤y≤x,因此
36.5.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
解法1
解法2
37.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。
38.y=C1e-x+C2e2x
本题考查的知识点为二阶线性常系数微分方程的求解.
特征方程为 r2-r-2=0,
特征根为 r1=-1,r2=2,
微分方程的通解为 y=C1e-x+C2ex.
39.因为y=(1+x2)arctanx,所以y"=2xarctanx+(1+x2)。=2xarctanx+1。
40.
41.
42.
43.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
44.
45.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
46.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
47.
48.
49.由等价无穷小量的定义可知
50.
51.
52.
则
53.
54. 由一阶线性微分方程通解公式有
55.
列表:
说明
56.
57. 函数的定义域为
注意
58.
59.由二重积分物理意义知
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.解:对方程两边关于x求导,y看做x的函数,按中间变量处理
70.
71. ∴x=1000(件)平均成本取最小值。 ∴x=1000(件)平均成本取最小值。
72.
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