2022-2023学年北京第七十九中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年北京第七十九中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设全集,集合则为(   )    A、             B、           C、     D、 参考答案： A 2. 数列首项为，为等差数列且，若则 A．3      B． 5     C．8          D．11 参考答案： A 略 3. 若方程在内有解，则的图象是   参考答案： D 略 4. 已知函数的值为（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 试题分析：，即，又， ，所以，故选B. 考点：1、分段函数的解析式；2、函数的周期性及指数与对数的性质. 5. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（    ）   （A）        （B）       （C）       （D） 参考答案： 答案：B 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ） A. 16π B. 12π C. D. 参考答案： C 【分析】 先还原几何体，再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】由三视图还原原几何体如图， 该几何体为圆柱挖去两个圆锥，圆柱的底面半径为2，高是4， 圆锥的底面半径为2，高分别为1和3． 则该几何体的体积. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的体积的求解，属于基础题. 7. 二项式的展开式中，第三项的系数比第二项的二项式系数大44，则展开式的常数项为第（   ）项. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 参考答案： B 本题考查二项式通项,二项式系数。 二项式的展开式的通项为，因为第三项的系数比第二项的二项式系数大44，所以，即，解得 则；令得则展开式的常数项为第4项.故选B 8. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为   A           B         C           D   参考答案： B 略 9. 已知函数的导函数图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是 A． B． C． D．   参考答案： D 略 10. 设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数； ②存在,使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为 (  ) A.         B.      C.       D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为　　cm2． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案． 【解答】解：如图所示， 由三视图可知： 该几何体为三棱锥P﹣ABC． 该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体， 由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2， 由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=cm3， 故答案为：． 12. 已知,则=         . 参考答案： 13. 已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，，则=　　． 参考答案： 3 考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案． 解答： 解：如图， =； ∴； G为△ABC的重心； ∴，； ∴； 整理得，； ∴； 消去x得，； ∴． 故答案为：3． 点评： 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理． 14. 函数，则函数的所有零点所构成的集合为________． 参考答案： 【知识点】函数的零点问题  B9 .解析：当时，，∴∴当时，， ∴；当时，； 当时， 所以函数的所有零点所构成的集合为：，故答案为. 【思路点拨】欲求函数函数的零点，即求方程的解，下面分：当时，当时分别求出函数的所有零点所构成的集合即可． 15. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A型号产品有16件，那么此样品容量为n=　　． 参考答案： 72 略 16. 如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点.则下列命题： ①直线A1G与平面AEF平行； ②直线D1D与直线AF垂直；③平面AEF截正方体所得的截面面积 为；④点C与点G到平面AEF的距离相等；⑤平面AEF截正方体所得两个几何体的体积比为. 其中正确命题的序号为___                                       ____． 参考答案： ③⑤ 17. 已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=    ． 参考答案： ﹣1 【考点】余弦函数的奇偶性． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用奇函数的定义可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，从而得到sinα=﹣1． 【解答】解：根据函数f（x）=是奇函数，可得sin（x+α）=﹣cosx， 故可取α=﹣，故sinα=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分) 如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA. 求证：（1）平面AMD∥平面BPC；      （2）平面PMD^平面PBD． 参考答案： 证明：（Ⅰ）∵PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，∴PB∥MA．…………………2分 ∵PBì平面BPC，MA (/平面BPC，∴MA∥平面BPC．    ……………………4分 同理DA∥平面BPC，            …………………………………………………5分 ∵MAì平面AMD，ADì平面AMD，MA∩AD＝A， ∴平面AMD∥平面BPC．   …………………………………………………………7分 　　（Ⅱ）连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF． ∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，∴EF∥=PB． 又AM∥=PB，∴AM∥=EF．∴AEFM为平行四边形．           ………………10分 ∴MF∥AE． ∵PB^平面ABCD，AEì平面ABCD，∴PB^AE．∴MF^PB．   ………………12分 因为ABCD为正方形，∴AC^BD．∴MF^BD． 又，∴MF^平面PBD．                         ………………13分 又MFì平面PMD．∴平面PMD^平面PBD．   …………………………………14分 19. 如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线. 参考答案： 解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为， 所以，解得 又椭圆经过点，所以， 所以 所以椭圆的标准方程为. (2)证明：因为线段的中垂线的斜率为， 所以直线的斜率为， 所以可设直线的方程为 据得 设点， 所以， 所以. 因为，所以 所以点在直线上， 又点也在直线上， 所以三点共线.   20. 设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分． (1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的值域． 参考答案： (1)设顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2， ∴y＝－2(x－3)2＋4，即y＝－2x2＋12x－14. 设x<－2，则－x>2. 又f(x)为偶函数， f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14， 即f(x)＝－2x2－12x－14. ∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为 f(x)＝－2x2－12x－14. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)函数f(x)的值域为(－∞，4． 21. 选修4-5：不等式选讲 已知，使不等式成立. （1）求满足条件的实数t的集合T； （2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值. 参考答案： 解：（1）令，则， 由于使不等式成立，有. （2）由（1）知，，根据基本不等式， 从而，当且仅当时取等号， 再根据基本不等式，当且仅当时取等号. 所以的最小值为18.   22. 已知函数满足，对于任意都有，且 ，令. （1）求函数的表达式； （2）函数在区间上有两个零点，求的取值范围. 参考答案： (1)；(2). （2）①当时，可知函数在区间上单调递增， 又，，故函数在区间上只有一个零点， ②当时，则，而，，， （ⅰ）若，由于，且， 此时，函数在区间上只有一个零点； （ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点， 综上所述，当时，函数在区间上有两个不同的零点. 考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用． 【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式.然后再借助题设函数在区间上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数的取值范围,从而使得问题获解.