辽宁省大连市朝鲜族中学高三数学理月考试卷含解析

辽宁省大连市朝鲜族中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（　　） A．（1，）B．（1，0） C．（，） D．（，0） 参考答案： C 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】化为直角坐标方程，可得圆心坐标，再利用极坐标即可得出． 【解答】解：圆ρ=sinθ即ρ2=ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=y，配方为：x2+=． 可得圆心C，可得圆心的极坐标是． 故选：C． 　 2. （5分）（2015?钦州模拟）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是（　　） 　 A． [﹣2，﹣1] B． （﹣∞，﹣1] C． [﹣1，2] D． [2，+∞） 参考答案： A 【考点】： 程序框图． 【专题】： 图表型；算法和程序框图． 【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间，即可得到答案． 解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值． 又∵输出的函数值在区间 内， ∴x∈[﹣2，﹣1] 故选：A． 【点评】： 本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查． 3. 平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是                               （    ）                   参考答案： A 4. 若焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(     ) A． B．y=±2x C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】由离心率可得关于m的方程，解之代入可得双曲线方程，可得渐近线方程． 【解答】解：由题意可得离心率e==， 解之可得m=1，故方程为， 故渐近线方程为y==， 故选A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线和离心率，属中档题． 5. 已知， （   ） A．2015       B．     C．2 D．－2 参考答案： B 6. 设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若，f（logat）＞0，则t的取值范围是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题． 【分析】由f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，可知函数在（﹣∞，0）上单调递增，且有f（﹣）=，则f（logat）＞0转化为logat＞或﹣＜logat＜0，再利用底数小于1的对数函数是减函数即可求t的取值范 【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数， ∴在（﹣∞，0）上是减函数，又f（）=0， 可得f（﹣）=﹣f（）=0， ∴f（x）在（﹣，0）和（，+∞）上函数值为正 ∴f（logat）＞0转化为logat＞或﹣＜logat＜0， 又∵0＜a＜1 ∴logat＞=logaa，可得0＜a＜， ﹣＜logat＜0，1＜a＜， 故选D 【点评】本题考查了奇函数的单调性的性质：对称区间上的单调性相同的应用，指数函数的单调性的应用，解题的关键是根据已知 得到f（x）在（﹣，0）和（，+∞）上函数值为正 7. 若定义在上的函数满足，且，若，则（     ）      A. 5        B. -5        C. 0         D. 3 参考答案： 【知识点】周期性B4 【答案解析】B  ∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）， ∵f（x+1）=f（1-x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x）， 即f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4， ∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），∵f（1）=5，∴f（2015）=-5．故选：B． 【思路点拨】由题意求出函数的周期，转化f（2015）为已知函数定义域内的自变量，然后求值． 8. 在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是(    ) A．    B．      C．24    D．6 参考答案： D 9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1， 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A.      12种      B.  18种       C. 36种      D.  54种 参考答案： B 10. 定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵． 专题： 计算题；新定义；三角函数的图像与性质． 分析： 由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值． 解答： 解：由定义的行列式运算，得 = == =． 将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后， 所得图象对应的函数解析式为． 由该函数为奇函数，得， 所以，则m=． 当k=0时，m有最小值． 故选C． 点评： 本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则          ． 参考答案： 3 12. 定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线上的点到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数______________. 参考答案： 【知识点】点到直线的距离；用导数求切线方程  H2  B11 【答案解析】  解析：曲线到直线的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即，由可得，令，则.在曲线上对应的点，所以曲线到直线的距离即为点到直线的距离，故，所以，可得|，当时，曲线与直线相交，两者距离为0，不合题意，故. 故答案为： 【思路点拨】先根据定义求出曲线到直线的距离，然后根据曲线的切线与直线平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可． 13. 已知函数f（x）=ex+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是　　． 参考答案： （1，2） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可． 【解答】解：因为函数f（x）=ex+x3，可得f′（x）=ex+3x2＞0，所以函数f（x）为增函数， 所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等价于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2， 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查函数的导数的应用，不等式的求法，考查转化思想以及计算能力． 14. 已知，则不等式x+（x+2）f（x+2）≤5的解集是　　． 参考答案： （﹣∞，] 【考点】7E：其他不等式的解法． 【分析】当x+2≥0时，f（x+2）=1；x+2＜0时，f（x+2）=﹣1，对x进行分类讨论后代入原不等式即可求出不等式的解集． 【解答】解：∵不等式x+（x+2）f（x+2）≤5， ∴x+2+（x+2）f（x+2）≤7， 当x+2≥0时，f（x+2）=1，代入原不等式得：x+2+x+2≤7?﹣2≤x≤； 当x+2＜0时，f（x+2）=﹣1，代入原不等式得：x+2﹣x﹣2≤7?0≤7，即x＜﹣2； 综上，原不等式的解集为（﹣∞，]． 故答案为：（﹣∞，]． 15. 已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： 考点：函数的零点与方程根的关系． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析：由f（x）=0得=2a，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围． 解答： 解：由得=2a， ①若x＞0，设g（x）=， 则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0， 当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1， 当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1， 当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1， 当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1， 作出函数g（x）的图象， 要使有且仅有三个零点， 即函数g（x）=2a有且仅有三个零点， 则由图象可知＜a≤， ②若x＜0，设g（x）=， 则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1， 当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2， 当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜， 当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜， 当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜， 作出函数g（x）的图象， 要使有且仅有三个零点， 即函数g（x）=2a有且仅有三个零点， 则由图象可知≤a＜， 综上：＜a≤或≤a＜， 故答案为：． 点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大． 16. 已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是              参考答案：    略 17. 在的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P=            。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题10分） 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的方程有三个不同的实根， 求实数的取值范围. 参考答案： （1）  ∴曲线在处的切线方程为，即； （2）记 令或1.      则的变化情况如下表 增 极大 减 极小 增 当有极大值有极小值.    由的简图知，当且仅当 即时， 函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线. 所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.   19. （12分） P、Q是抛物线上除顶点以外的两点，O为坐标原点，，直线分别是过点P、Q的抛物线的切线. （1）求的交点M的轨迹方程； （2）若分别交x轴于A、B两点，求证：的垂心必在抛物线的准线上. 参考答案： 解析：（1）设 直线OP、OQ的斜率分别为    ……………………①…………………………………3分 过P、Q的切线方程分别是………………②                         ……………③ ②—③得