湖南省郴州市汾市中学2022年高二数学理联考试卷含解析

湖南省郴州市汾市中学2022年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某三棱锥的三视图如下左图所示，该三棱锥的表面积是 (　　) A．30＋6     B．28＋6 C．56＋12      D．60＋12 参考答案： A 2. 有以下四个命题： (1)垂直于同一平面的两直线平行． (2)若直线a、b为异面直线，则过空间中的任意一点P一定能作一条直线与直线a和直线b均相交． (3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行． (4)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任何直线都垂直． 其中真命题有________个 A．1　　　　　　　　B．2     C．3  D．4 参考答案： B 略 3. 以下四个命题中，其中正确的个数为（　　） ①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”； ②“”是“cos2α=0”的充分不必要条件； ③若命题，则?p：?x∈R，x2+x+1=0； ④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且仅有一个是真命题． A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据命题和它的逆否命题之间的关系，即可判断①错误； 根据时cos2α=0成立判断充分性，cos2α=0时α=不成立判断必要性，得出②正确； 根据特称命题的否定是全称命题，得出③错误； 根据复合命题的真值表判断④正确． 【解答】解：对于 ①，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为： “若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故①错误； 对于 ②，时，cos2α=cos=0，充分性成立； cos2α=0时，α=+，k∈Z，必要性不成立， 是充分不必要条件，故②正确； 对于③，命题， 则?p：?x∈R，x2+x+1≠0，故③错误； 对于④，当p∧q为假命题，p∨q为真命题时， p，q中有且仅有一个是真命题，故④正确． 综上，正确的命题序号是②④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题，充分与必要条件以及复合命题的真假判断问题，是综合性题目． 4. 等腰三角形ABC底边两端点坐标分别为B(4，2)、C(－2，0)，则顶点A的轨迹方程是(     ) A．   B． C．   D． 参考答案： C 5. 菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形对角线相等，以上三段论推理中错误的是（    ） Ａ．大前提 Ｂ．小前提 Ｃ．推理形式 Ｄ．大小前提及推理形式 参考答案： A 略 6. 已知数列{an}中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）. A.(3,+∞)  B.(－∞,3)  C. [3,+∞) D. (－∞,3] 参考答案： C 7. 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　） A．1 B． C． D．﹣1 参考答案： A 【考点】导数的几何意义． 【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解． 【解答】解：y'=2ax， 于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行 ∴有2a=2 ∴a=1 故选：A 8. 下列程序运行的结果是（      ） A． 1, 2 ,3      B． 2, 3, 1       C． 2, 3, 2       D． 3, 2, 1 参考答案： C 9. 如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出结果． 【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME， 则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角， ∵AN=2，∴ME==EN，MC=2， 又∵EN⊥NC，∴EC==， ∴cos∠EMC===， ∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　 10. 设集合 .若,则实数的取值范围是_____________。 参考答案： 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义在R上的偶函数在[0，)上是增函数，则方程的所有实数根的和为            . 参考答案： 4 略 12. 中心在原点、焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF2|=10，双曲线离心率的取值范围为（1，2），则椭圆离心率的取值范围是     ． 参考答案： （，1） 考点：直线与圆锥曲线的关系． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0，离心率为e2，|F1F2|=2c，由e1=，e2=∈（1，2），由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得a=c+5，m=c﹣5，由不等式的解法，从而可求得答案． 解答： 解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1， 双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c， ∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P， △PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，|PF2|=10， ∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c， ∴|PF2|=2a﹣2c；① 同理，在该双曲线中，|PF2|=﹣2m+2c；② 由①②可得m=c﹣5，a=c+5． ∵e2=∈（1，2），即1＜＜2， ∴c＞10， 又e1===1﹣，0＜＜ 由c＞10，可得0＜＜， 即有＜e1＜1． 故答案为：（，1）． 点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质：离心率的范围，考查等价转换的思想与运算能力，考查不等式的解法，属于中档题． 13. 如果直线 与圆：交于两点，且，为坐标原点，则_________. 参考答案： 略 14. 采用系统抽样方法，从121人中先去掉一个人，再从剩下的人中抽取一个容量为12的样本，则每人被抽取到的概率为__________．   参考答案： 略 15. 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|=          。 参考答案： 略 16. 经过两条直线和的交点，且以向量(4，3)为方向向量的直线方程为                 参考答案： 3x-4y-1=017. 不等式的解集是________________。 参考答案：   解析： 当时，得； 当时，得； 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆及直线 (Ⅰ)当为何值时，直线与椭圆有公共点； (Ⅱ)求直线被椭圆截得的弦长最长时直线的方程. 参考答案： （Ⅰ） , 解得                    --------6分             （Ⅱ）设直线与椭圆交点， 则    此时，的方程为.                           --------12分 19. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆交于P，Q两点，试求三角形OPQ面积的最大值. 参考答案： （1）；（2）1. 【分析】 （1）根据直线与轴的交点，求得的值，再利用离心率求得的值，进而求得的值，得到椭圆的方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式大于零，得到，利用韦达定理得到两根和与两根积，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形的面积公式，得到关于的式子，利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，所以， 又离心率为则,，所以椭圆方程为； （2）联立若直线与椭圆方程得，令，得设方程的两根为， 则，，， 点到直线的距离， 当且仅当， 即或时取等号，而或满足， 所以三角形面积的最大值为1. 【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线被椭圆截得的弦长，三角形的面积，属于中档题目. 20. 已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G． （Ⅰ）求动点G的轨迹方程； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）求得焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标，运用代入法消去k，即可得到所求轨迹方程； （Ⅱ）求得D，E和G的坐标，|DG|和|ME|的长，以及D点到直线AB的距离，运用四边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB的方程． 【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在， 设AB：y=kx+1， 联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y）， 则x1+x2=4k，x1x2=﹣4， 所以， 所以， 消去k，得重心G的轨迹方程为； （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，， 因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），， D点到直线AB的距离， 所以四边形DEMG的面积， 当且仅当，即时取等号， 此时四边形DEMG的面积最小， 所求的直线AB的方程为． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查四边形面积的最值的求法，注意运用弦长公式和点到直线的距离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21. （1）已知集合，．p：，q：，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． （2）已知p：，，q：，，若为假命题，求实数m的取值范围． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）由二次函数的性质，求得，又由，求得集合， 根据命题是命题的充分条件，所以，列出不等式，即可求解． （2）依题意知，均为假命题，分别求得实数的取值范围，即可求解． 【详解】（1）由，∵，∴，， ∴，所以集合， 由，得，所以集合， 因为命题是命题的充分条件，所以，则，解得或， ∴实数的取值范围是. （2）依题意知，，均为假命题， 当是假命题时，恒成立，则有， 当是假命题时，则有，或. 所以由均为假命题，得，即. 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22.   参考答案：