安徽省马鞍山市博望中学高三数学理下学期期末试题含解析

安徽省马鞍山市博望中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题为真命题的是（　　） A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＜b D．若，则a＜b 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑． 【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确． 【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误； 若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误； 若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误； 若，则，即a＜b，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题． 2. 如图所示是正三棱锥V﹣ABC的正视图，侧视图和俯视图，则其正视图的面积为（　　）  A．6 B．5 C．4 D．3 参考答案： D 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图求出正三棱锥的棱长、底面正三角形的边长，根据正三棱锥的结构特征求出三棱锥的高，即可求出正视图的面积． 【解答】解：由题意知几何体是一个正三棱锥， 由三视图得棱长为4，底面正三角形的边长为2， ∴底面正三角形的高是=3， ∵正三棱锥顶点在底面的射影是底面的中心， ∴正三棱锥的高h=2， ∴正视图的面积S==3， 故选：D． 【点评】本题考查正三棱锥的三视图，由三视图正确求出几何元素的长度是解题的关键，考查了空间想象能力． 3. 设等差数列{an}满足3a10=5a17，且a1＞0，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项是（　　） A．S24 B．S23 C．S26 D．S27 参考答案： D 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由题意易得数列的公差，可得等差数列{an}前27项为正数，从第28项起为负数，可得答案． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由3a10=5a17可得3（a1+9d）=5（a1+16d）， 解得d=﹣a1＜0， ∴an=a1+（n﹣1）d=a1， 令an=a1≤0可得≤0， 解得n≥， ∴递减的等差数列{an}前27项为正数，从第28项起为负数， ∴数列{Sn}的最大项为S27， 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题． 4. 已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为(       ) A．13 B．12 C．11 D．10 参考答案： C 5. 下列命题中的真命题是（　　） 　 A． B． ?x∈（0，π），sinx＞cosx 　 C． ?x∈（﹣∞，0），2x＜3x D． ?x∈（0，+∞），ex＞x+1 参考答案： D 略 6. 倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（     ） A.                        B. C.                        D. 参考答案： D 直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D. 7. 下列说法正确的是   （  ）                                                    A. “”是“在上为增函数”的充要条件 B. 命题“使得 ”的否定是：“” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 命题p：“”，则p是真命题 参考答案： A 略 8. 如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（  ） A．三棱锥         B．四棱锥       C.三棱柱         D．四棱柱 参考答案： A 作出三视图的直观图，如图所示： 三棱锥即为所求. 故选A.   9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（    ） A．是偶数，         B．是奇数，       C. 是偶数，         D．是奇数， 参考答案： D 10. 已知函数 f（x）=x++a，x∈[a，+∞），其中a＞0，b∈R，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（　　） A．b＞ B．b＜ C．b＞ D．b＜ 参考答案： D 【考点】3H：函数的最值及其几何意义． 【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围． 【解答】解：函数 f（x）=x++a，x∈[a，+∞）， 导数f′（x）=1﹣， 当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值， 且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解； 当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去）， 当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值， 且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解； 当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增， 可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜． 综上可得b的取值范围是（﹣∞，）． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，若，或，则m的取值范围是_________。 参考答案： 首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。而对，或成立即可，故只要，，(*)恒成立即可．①当时，，不符合(*)式，舍去；②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。 12. 的展开式中，常数项是          ． 参考答案： 6 13. 已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有           参考答案： 10 14. 现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种. 参考答案： 180 【分析】 由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分4步进行分析： 对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况； 对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况； 对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况； 对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况； 则不同的着色方法有5×4×3×3=180种 15. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是　　． 参考答案： 考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为q（q≠0）， 由a5+2a10=0，得， ∵a1≠0，∴． 则===． 故答案为：． 点评： 本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题． 16. 设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，则实数的取值范围为________。   参考答案： 略 17. 若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为_______. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围； （Ⅲ）求证： 参考答案： 【知识点】不等式的证明．E7 【答案解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析。 解析：（Ⅰ）令函数，定义域是 由，可知函数在上单调递减 故当时，，即. ……………………………3分 （Ⅱ）因为，故不等式可化为…… 问题转化为式对任意的正实数恒成立，             构造函数， 则，……………6分 （1）当时，，即在上单调递增， 所以，即不等式对任意的正实数恒成立. （2）当时， 因此，函数单调递减； ，函数单调递增， 所以 ，令， 由(Ⅰ)可知，不合题意. 综上可得，正实数的取值范围是.      ………………10分 （Ⅲ）要证，即证， 由（Ⅱ）的结论令，有对恒成立， 取可得不等式成立， 综上，不等式成立.     ………………………………14分 【思路点拨】（Ⅰ）令函数，定义域是，求出导数，判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，运用单调性即可得证； （Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…… 问题转化为式对任意的正实数恒成立，构造函数，求出导数，对a讨论，当0＜a≤2时，当a＞2时，求出单调性，判断不等式是否成立，即可得到； （Ⅲ）要证，即证， 由（Ⅱ）的结论令，有对恒成立， 取可得不等式成立，变形整理即可得证． 19. 如图，在以AB为直径的半圆上有三点P，C，Q，且，BP与AC交于点M，过点M作PQ的平行线，交BQ于点N （1）       求证： （2）       若，P是弧BC的中点，求四边形ABMN的面积 参考答案： （Ⅰ）连接，∵，∴, 即, ∵，∴,又∵ ∴∽,∴,即, ∴, ∴∽, ∴，又∵四边形是圆内接四边形， ∴，∴， ∴,∴；                  …5分 （Ⅱ）∵是的中点，∴ ,由（Ⅰ）得,, ∵,,∴, ∴,∴,∴, ∴是等腰直角三角形，又∵是的中点，， ∴是中点，∴,∴, ∴,∴, ∴, ∴．       …10分 20. 已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。 参考答案：   21. （本题12分）求下列函数的导数： （1）y= （2）y=ln（x＋） （３）y=;    参考答案： 解: （1）y′= == （2）y′=·（x＋）′=（1＋）= （３）y′== 略 22. 等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q（q≠1），且a1+a2=12﹣q，S2=b2?q． （I）求an与bn． （Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（1）由已知可知q2+q﹣12=0，解得q=3，d=6﹣q，求得d，根据等差数列及等比数列通项公式，即可求得an与bn； （2）由（1）可知，求得数列{an}前n项和为Sn， =×=（﹣），采用“裂项法”即可求得数列{}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）等差数列{an}的公差为d， a1+a2=12﹣q，S2=b2?q． ∴d=6﹣q， ∴12﹣q=b1?q2， 整理得：q2+q﹣12=0，解得：q=3或q=﹣4（舍去）， ∴d=3， an=