湖北省黄冈市绿杨中学高二数学理测试题含解析

湖北省黄冈市绿杨中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于一个给定的数列{an}，定义：若，称数列为数列{an}的一阶差分数列；若，称数列为数列{an}的二阶差分数列．若数列{an}的二阶差分数列的所有项都等于1，且，则（    ） A. 2018 B. 1009 C. 1000 D. 500 参考答案： C 【分析】 根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解. 【详解】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为， 则，即， 利用累加法可得， 由于，即 解得，，故．选C 【点睛】本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题. 2. 关于直线a、b，以及平面M、N，给出下列命题： ①若a∥M，b∥M，则a∥b； ②若a∥M，b⊥M，则a⊥b； ③若a∥b，b∥M，则a∥M； ④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为(　　) A．0             B．1         C．2             D．3 参考答案： C 略 3. 已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率（　　） A．    B．       C．2 D．3 参考答案： C 略 4. 已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（　　） A．   B． C．﹣2 D．2 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值． 【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得 a=﹣2， 故选C． 5. 设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是           （     ） A． B． C．  D． 参考答案： D 略 6. 在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(   　) A．                 B．              C．                 D． 参考答案： D 略 7. 下列求导运算正确的是（ ） （    ） A．(x+  B．(log2x)′= C．(3x)′=3xlog3e  D．(x2cosx)′=－2xsinx 参考答案： B 8. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=﹣1，b=﹣3，则输出的a的值为（　　） A．27 B．8 C．9 D．3 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘a值，并判断满足a＞6时输出a的值． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=﹣1，b=﹣3时，不满足条件a＞6，a=（﹣1）×（﹣3）=3＜6； 不满足条件a＞6，a=3×（﹣3）=﹣9＜6； 不满足条件a＞6，a=（﹣9）×（﹣3）=27； 满足条件a＞6，退出循环，输出a的值为27． 故选：A． 9. 已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于x的方程 的不同实根个数为(  ) A. 3            B．4      C．5          D. 6 参考答案： A 10. 某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取人数为                       （   ） A．8，15，7   　                　 B．16，2，2 C．16，3，1    　                   　D．12，3，5 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 参考答案： 略 12. 平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C关于y轴对称； ②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2； ③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4． 其中，所有正确结论的序号是　　． 参考答案： ①②③ 【考点】轨迹方程． 【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误． 【解答】解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点， 因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹， 所以|PF|+|y+1|=4．即+|y+1|=4， 解得y≥﹣1时，y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=x2﹣2； 显然①曲线C关于y轴对称；正确． ②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确． ③若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确． 故答案为：①②③． 13. 某地教育部门为了调查学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10000名考生的数学试卷中用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则10000人的数学成绩在[140,150]段的约是________ 人． 参考答案： 800 略 14. 已知X的分布列为 X －1 0 1 P a   设，则E(Y)的值为________ 参考答案： 【分析】 先利用频率之和为1求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案。 【详解】由随机分布列的性质可得，得， ，因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题。 15. 已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________. 参考答案： 16. 已知半径为的球中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　            　. 参考答案： 32 17. 对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，则k的取值范围是　　． 参考答案： ﹣4＜k≤0 【考点】全称命题；一元二次不等式的应用． 【专题】计算题；分类讨论；转化思想． 【分析】对k=0与k＜0，k＞0，分别利用?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，求出k的范围． 【解答】解：当k=o时，对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0，﹣1＜0即是真命题，成立． 当k＜0时，对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，必有△=（﹣k）2+4k＜0， 解得，﹣4＜k＜0， 当k＞0时，对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，显然不成立． 综上，﹣4＜k≤0． 故答案为：﹣4＜k≤0 【点评】本题考查不等式的解法，恒成立问题，考查转化思想，分类讨论． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足－=+（）. （1）求常数； （2）求数列和的通项公式； （3）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少？ 参考答案： 解：（1）,   ,,           . 又数列成等比数列， ，所以 ； 又公比，所以     ；   又,, ； 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当，  ； ()； （2）        ；   由得，满足的最小正整数为112. 略 19. （本小题满分12分）已知集合＝，＝． ⑴当时，求； ⑵求使的实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）． （2）∵ B＝（2a，a2＋1）， 当a＜时，A＝（3a＋1，2） 要使BA，必须，此时a＝－1； 当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）要使BA，必须，此时1≤a≤3． 综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1} 20. 已知函数，f（x）=，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*） （I）求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （II）记Sn=a1a2+a2a3+..anan+1，求Sn． 参考答案： 【考点】数列与函数的综合；数列的求和． 【专题】综合题． 【分析】（I）直接利用an+1=f（an）得到．再对其取倒数整理即可证数列{}是等差数列；进而求出数列{an}的通项公式； （II）利用（I）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即可求Sn． 【解答】解：（I）由条件得，． ∴?=3． ∴数列{}是首项为=1，公差d=3的等差数列． ∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2． 故an=． （II）∵anan+1=（）． ∴Sn═a1a2+a2a3+..anan+1 = [（1﹣）+（）+…+（）] =（1﹣）=． 【点评】本题第二问主要考查了数列求和的裂项相消法．裂项相消法一般适用于一数列的通项是一分式形式且分子为常数，而分母是某一等差数列相邻两项的乘积组成． 21. 在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示． （1）求甲班的平均分； （2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数． 【分析】（1）由茎叶图能求出甲班的平均分． （2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率． 【解答】解：（1）甲班的平均分为： ； （2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d， 从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含： （A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b）， （B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件， 设事件M=“至少含有甲班一名同学”， 则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件， 所以事件M的概率为． 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 22. 已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程； （3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由已知，，又a2=b2+c2，解出即可得出． （2）设直线l的方程为y=2x+t，则，可得，根据OP⊥OQ，可得kOP?kOQ=﹣1，解出即可得出． （3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，与椭圆方程联立化为（t2+4）y2+2tm