浙江省宁波市荣安实验中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析

浙江省宁波市荣安实验中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（　　） A．50米 B．25米 C．25米 D．50米 参考答案： A 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论． 【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am， ∵∠CBD=30°，CD=50米， ∴2500=a2+3a2﹣2a， ∴a=50m． 故选A． 2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设；正确顺序的序号为 (     ) A．①②③   B．③①②       C．①③②   D．②③① 参考答案： B 3. 设则                        （   ） A．        B． C．            D． 参考答案： D 4. 若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（    ） A.           B.          C.           D. 参考答案： C 5. “”是“”的(    ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案： C 6. 若，则（   ）. A.       B.      C.     D. 参考答案： C 7. 设向量，均为单位向量，且||，则与的夹角为（     ） A．            B．             C．           D． 参考答案： C 8. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由计算出． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828   并参照附表，得到的正确结论是（ ） A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 参考答案： A 9. 若，则下列不等式中不成立的是 A．    B．    C．    D． 参考答案： B 10. 下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是（　　） A．y=cos2x B．y=lg|x| C．y=﹣x D．y= 参考答案： C 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：A．y=cos2x是偶函数，在定义域上是单调递减，不满足条件． B．y=lg|x|是偶函数，不满足条件． C．y=﹣x是奇函数，在定义域上是奇函数，满足条件． D．y=是奇函数，在定义域{x|x≠0}上不单调，不满足条件． 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数． 经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于　　． 参考答案： 【考点】数列的应用． 【分析】根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值． 【解答】解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a）， （c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项， ∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2， ∴x2+x﹣1=0， 解得， ∵0＜x＜1， ∴． 故答案为：． 12. 在三棱锥中，侧棱两两互相垂直，面积分别为则三棱锥的外接球的体积为                       参考答案： 略 13. 函数的单调递减区间为____________. 参考答案： (0,1] 14. 函数的导数               ，            参考答案： 15. 如图，一个空间几何体的主视图，左视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为__________；体积为__________． 参考答案： ；. 解：几何体由两个相同的正四棱锥组成， ∵正视图，侧视图都是面积为，一个内角为的菱形， ∴菱形的边长为， 且正四棱锥的底面边长为， 侧面底边长为，斜高为， 侧棱长为， ∴几何体的表面积为， 体积 ． 16. 定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=　   　． 参考答案： 1 【考点】函数零点的判定定理；函数与方程的综合运用． 【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案． 【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3， 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数， 则f（x）﹣log2x为定值， 设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t， 又由f（t）=3，即log2t+t=3， 解可得，t=2； 则f（x）=log2x+2，f′（x）=， 将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2， 可得log2x+2﹣=2， 即log2x﹣=0， 令h（x）=log2x﹣， 分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0， 则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间， 则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上， 故答案为：1． 17. 如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图，从图中看，平均成绩较高的是    ▲    班． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=． （1）求证：AO⊥平面BCD； （2）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，连接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，满足定理条件； （2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，根据二面角平面角的定义知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可． 【解答】解：（1）证明：连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点， ∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形， O为BD的中点，AB=2，， ∴． 在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O， ∴AO⊥平面BCD． （2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD， ∴AE在平面BCD上的射影为OE． ∴AE⊥BC．∴∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角． 在Rt△AEO中，，， ， ∴．∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为． 【点评】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力． 19. 已知直线经过直线与的交点，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，求直线的方程. 参考答案： 略 20. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为．直线y=x﹣1与椭圆C交于不同的两点M，N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求线段MN的长度． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由已知椭圆的一个顶点，离心率列出方程组，解得b的值，则椭圆C的标准方程可求； （2）联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N两点横坐标的和与积，代入弦长公式得答案． 【解答】解：（1）∵椭圆一个顶点A（2，0），离心率为， ∴，解得． ∴椭圆C的方程为； （2）联立，消去y得3x2﹣4x﹣2=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则， ∴ ==． 21. 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD. 已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝ (Ⅰ)证明：SA⊥BC； (Ⅱ)求二面角S—AD—C的正切值；（13分） 参考答案： 解析：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面，得       因为，所以， 又，故为等腰直角三角形，， ∴，得．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题得， 故， ∴二面角S—AD—C的平面角为∠SAO 由，，得，，∴（13分） 22. 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9:1． （Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；   （Ⅱ）求展开式中中间项． 参考答案： （Ⅰ）64；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值，然后可求各项二项式系数的和； （Ⅱ）根据的值确定中间项，利用通项公式可求. 【详解】解：（Ⅰ）由题意知，展开式的通项为： ，且， 则第五项的系数为，第三项的系数为， 则有， 化简，得，解得， 展开式中各项二项式系数的和； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式共有7项，中间项第4项，令，得． 【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.