2022年北京南窖中学高二数学理模拟试题含解析

2022年北京南窖中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知x与y之间的一组数据：                            （　  ） x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过 A.（2，6）       B.（2.5，6）   C.（3，8）      D.（3.5，8） 参考答案： B. 试题分析：由线性回归方程必过样本中心，根据表中数据可计算出的平均数，即为样本中心的坐标（2.5，6），故选B. 考点：线性回归方程. 2. 在等比数列中，则（   ） （A）21          （B）22         （C）12        （D）28 参考答案： A 略 3. 已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、β，则下列命题中的真命题是（　　） 　 A． 若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥n     B． 若m⊥a，n∥β，a⊥β，则m⊥n 　 C． 若m∥a，n∥β，a∥β，则m∥n      D． 若m∥a，n⊥β，a⊥β，则m∥n 参考答案： A 4. 已知函数，其图像大致为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 检验得：，所以为奇函数，排除C,D，再利用导数即可求得，即可判断在上存在递增区间，排除A，问题得解。 【详解】因， 所以为奇函数，排除C,D 当时， 所以， 所以在上存在递增区间，排除A. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的图像识别，考查了奇函数的图像特征及利用导数判断函数的单调区间，考查计算能力及转化能力，属于中档题。 5. 曲线在点(1,－1)处的切线方程为 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】的导数为， 可得曲线在点(1,－1)处的切线斜率为， 所以曲线在点(1,－1)处的切线方程为， 即， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 6. 在数列中，=1，，则的值为             （     ） A．99            B．49            C．102          D． 101 参考答案： D 7. 先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】互斥事件与对立事件． 【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果． 【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子， 至少一次正面朝上的对立事件的概率为， 1﹣=． 故选D． 【点评】本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了． 8. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在（　　）     A．金盒里              B．银盒里      C．铅盒里              D．在哪个盒子里不能确定 参考答案： B 略 9. 三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（  ）   A．  B．  C． （分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）     D． 参考答案： C 略 10. 若抛物线x2=ay的焦点为F（0，2），则a的值为（　　） A． B．4 C． D．8 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线x2=ay的焦点坐标为（0，2），可得=2，解出即可． 【解答】解：∵抛物线x2=ay的焦点坐标为（0，2），可知抛物线开口向上， ∴=2， 解得a=8． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要用系统抽样法从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________；若用分层抽样方法，则50岁以上年龄段应抽取__________人． 参考答案： 37   ，  8. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为         . 参考答案： 20 13. 函数在区间上的最大值是4，则=             ． 参考答案： -3或 略 14. .排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和． 前2局中B队以2:0领先，则最后 B队获胜的概率为        . 参考答案： 略 15. 把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论正确的有__________． （1）； （2）是正三角形； （3）三棱锥的体积为； （4）AB与平面BCD成角60°． 参考答案： （1）（2）（3） ∵，， ∴面， ∴．（1）正确． ， ，， 为正三角形．（2）正确． ．（3）正确． 与平面所成角．（4）错误． 16. 若直线x+my+6=0与直线(m－2)x+3y+2m=0平行，则m的值为________. 参考答案： 17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为　   　． 参考答案： 3 【考点】由三视图还原实物图． 【分析】由几何体的侧视图的面积为求出几何体的高AD，再四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平，在平面内利用余弦定理求得线段AM+MN+NB长为所求． 【解答】解：取AB中点F，∵AE=BE=，∴EF⊥AB， ∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD， 易求EF=， 左视图的面积S=AD?EF=AD=， ∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°， 将四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图， 则AB2=AE2+BE2﹣2AE?BE?cos120°=3+3﹣2×3×（﹣）=9， ∴AB=3， ∴AM+MN+BN的最小值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查由三视图还原实物图，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空间想象能力、转化、计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知关于x的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b． （1）求实数a，b的值． （2）若复数z满足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值． 参考答案： 【考点】A3：复数相等的充要条件；A4：复数的代数表示法及其几何意义；A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】（1）复数方程有实根，方程化简为a+bi=0（a、b∈R），利用复数相等，即解方程组即可． （2）先把a、b代入方程，同时设复数z=x+yi，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆， 再数形结合，求出z，得到|z|． 【解答】解：（1）∵b是方程x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根， ∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0， ∴解之得a=b=3． （2）设z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|， 得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2）， 即（x+1）2+（y﹣1）2=8， ∴z点的轨迹是以O1（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，如图所示， 如图， 当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值， ∵|OO1|=， 半径r=2， ∴当z=1﹣i时． |z|有最小值且|z|min=． 【点评】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法． 是有一定难度的中档题目． 19. （本小题满分14分）设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，． （1）求、的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）解：，                        ……（1分） 解答   ．         …………（3分） （2）由（1）知，    ① 当时，                                  ①－②，得（），又，     …………（4分） 所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（5分） 所以的通项公式为（）．   …………（7分） （3）由（2），得，                                 由，得，即， 即．因为，所以， 所以且，  （*） 因为，所以或或．……………………（10分） 当时，由（*）得，所以； 当时，由（*）得，所以或； 当时，由（*）得，所以或或． 综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为： ，，，，，． …………（13分） 20. 数列满足． （Ⅰ）计算，并由此猜想通项公式； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 参考答案： 略 21. 已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：?x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0. 若“p或q”为真，  “p且q”为假，求实数a的取值范围．                                                                  参考答案： 由条件知，a≤x2对?x∈[1,2]成立，∴a≤1； ∵?x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0成立， ∴不等式x2＋(a－1)x＋1<0有解，∴Δ＝(a－1)2－4>0， ∴a>3或a<－1； ∵p或q为真，p且q为假， ∴p与q一真一假． ①p真q假时，－1≤a≤1； ②p假q真时，a>3. ∴实数a的取值范围是a>3或－1≤a≤1. 22. （1）已知，a，b都是正数，且，求证：. （2）已知已知，且，求证：. 参考答案： （1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）利用比较法证明，欲证，只要证即可，然后利用因式分解判断每个式子的正负即可； （2）由题意得：1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），即可证得结论. 【详解】（1） . ∵都是正数,∴,又∵, ∴ ； （2）∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2）， ∴a2+b2+c2≥ ． 【点睛】本题考查了不等式证明，熟悉公式和运用是解题的关键，属于中档题.