山西省忻州市东力学校高二数学理测试题含解析

山西省忻州市东力学校高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的展开式中的常数项为(　　) A．－132 0         B．1 320         C．－220           D．220 参考答案： C 略 2. 由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(　　) A．2     B．9－2      C.         D. 参考答案： D 注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结选D. 3. 执行如图21－2所示的程序框图，如果输入p＝5，则输出的S＝(　　) 图21－2 A．  B． C．  D． 参考答案： C 4. 已知命题：，，则（     ） (A)      (B)  (C)   (D)  参考答案： C 5. 现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； ②由“若数列为等差数列，则有成立”类比“若数列为等比数列，则有成立”，则得出的两个结论     A. 只有①正确                                             B. 只有②正确 C. 都正确                                                      D. 都不正确 参考答案： C 6. 已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若实数λ使得λ+与垂直，则λ=（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 参考答案： A 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】利用向量的垂直的充要条件，列出方程，求解即可． 【解答】解：λ+=（λ+4，﹣3λ﹣2），代入（λ+）?=0， 即：λ+4+9λ+6=0，解得λ=﹣1． 故选：A． 7. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（   ）                        参考答案： B 8. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为（　　　） Ａ　1　　Ｂ2　　　Ｃ3　　　Ｄ4　　 参考答案： B 9. 满足的函数是 A . f(x)＝1－x B.  f (x)＝x C . f(x)＝0 D . f(x)＝1 参考答案： C 略 10. 已知A、B是抛物线 =2（>0）上两点，O为坐标原点，若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（  ） （A）＝        （B）＝      （C）＝3        （D）＝ 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则           ． 参考答案： -1 12. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 序号i 分组       (睡眠时间) 组中值(Gi) 频数(人数) 频率(Fi)   1 4,5) 4.5 6 0.12 2 5,6) 5.5 10 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8) 7.5 10 0.20 5 8,9 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________． 参考答案： 6.42 13. 设曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为--     ． 参考答案： 略 14. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为______． 参考答案： 36 设抛物线的解析式，则焦点为， 对称轴为轴，准线为， 直线经过抛物线的焦点，，是与的交点， 又轴，，， 又点在准线上，设过点的垂线与交于点，， ．故答案为36． 15. 若复数（1+ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则复数1+ai的模是 　　． 参考答案： 【考点】A8：复数求模． 【分析】纯虚数是实部为0，虚部不为0，先求出代入模长计算公式即可． 【解答】解：∵（1+ai）2=1﹣a2+2ai是纯虚数， ∴1﹣a2=0且2a≠0， ∴a=±1， ∴1+ai=1±i， ∴1+ai的模= 故答案为． 【点评】本题考查纯虚数的定义及模长计算公式，是一道基础题 16. 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______． 参考答案： 略 17. 已知点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 A.   B.   C.  D. 参考答案： A 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值. 参考答案： （1）；（2）①；②. 【分析】 ； （1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合计算即可得到椭圆的方程;（2）① 由直线过右焦点，设出直线AB方程，将AB方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积为，将弦长AB中的斜率变为可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N坐标，观察坐标知MN中点T在x轴上，所以，整理后利用基本不等式即可得面积的最值. 【详解】（1） 由题设知： 解得 故椭圆的标准方程为. （2）①设的直线方程为， 联立消元并整理得， 所以，， 于是， 同理， 于是. ②由①知，，，， 所以，， 所以的中点为， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．解题时可从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 19. （本小题满分14分）设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，． （1）求、的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）解：，                        ……（1分） 解答   ．         …………（3分） （2）由（1）知，    ① 当时，                                  ①－②，得（），又，     …………（4分） 所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（5分） 所以的通项公式为（）．   …………（7分） （3）由（2），得，                                 由，得，即， 即．因为，所以， 所以且，  （*） 因为，所以或或．……………………（10分） 当时，由（*）得，所以； 当时，由（*）得，所以或； 当时，由（*）得，所以或或． 综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为： ，，，，，． …………（13分） 20. 由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明． 参考答案： 解:⑴∵, ∴当时,; 当时, ∴当时,; 当时,. ∴当时,函数…………………….6分 ⑵∵由⑴知当时,, ∴当时, 当且仅当时取等号……………………………8分 ∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴…;…………12分 略 21. 已知函数f（x）=|2x+1|-|x-1|． （1）解不等式f（x）＜2； （2）若不等式|m-1|≥f（x）+|x-1|+|2x-3|有解，求实数m的取值范围． 参考答案： （1）（-4，）；（2）（-∞，-3]∪[5，+∞） 【分析】 （1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）利用绝对值的三角不等式，求得的最小值，得出，即可求解。 【详解】（1）由题意，可得， ∴或或，解得：或或无解， 综上，不等式的解集是（，）． （2），当时等号成立， 因为不等式有解， ∴， ∴，∴或，即或， ∴实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，合理用绝对值的三角不等式求最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 22. （本题满分12分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是， （Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？ （Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ （Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？   参考答案：