广东省惠州市龙门县龙门中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

广东省惠州市龙门县龙门中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果，则下列不等式成立的是（    ） A.            B.            C.            D. 参考答案： D 2. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（    ） A.      B.       C.        D.    参考答案： C 3.     已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　 　） A．      B．      C．      D． 参考答案： 答案：D 4. 设集合A={x∈R|x﹣1＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣1）＞0}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用不等式的解法化简集合A，B，C，再利用集合的运算性质、简易逻辑的判定方法即可得出． 【解答】解：集合A={x∈R|x﹣1＞0}={x|x＞1}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣1）＞0}={x|x＞1，或x＜0}， A∪B={x|x＜0，或x＞1}． 则“x∈A∪B“是“x∈C“的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 已知函数，若都大于0，且，则 的取值范围是 A．      B．      C．     D． 参考答案： A 6. 函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是(     ) A． B．π C．2π D．4π 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论． 【解答】解：f（x）=2﹣2sin2（+π）=2﹣2=2﹣2?=1+cosx 的最小正周期为=2π， 故选：C． 【点评】本题主要三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题． 7. 设方程 的两个根为，则 （  ） A          B        C       D     参考答案： 答案：D 8. 在△ABC中,∠BAC=60°, AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点(E为靠近点C的三等分点),则等于(　　) 参考答案： A 略 9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是 A. B. C. D. 参考答案： D 略 10. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为棱A1D1、A1A、A1B1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④异面直线FG、B1C所成角的大小为．其中正确命题的序号为（　　  ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 参考答案： C 【分析】 画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选项. 【详解】如图， 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D//B1C，又A1D⊥EF，故B1C⊥EF，即①正确； 又BC1∥AD1，AD1//EF，故BC1//EF，又EF?平面EFG，故BC1∥平面EFG，即②正确； 因为EF⊥A1D，EF⊥A1B1，所以EF⊥平面A1B1CD，又A1C ?平面A1B1CD，所以EF⊥A1C，同理可证EG⊥A1C，又EF∩EG=E，EF?平面EFG，EG?平面EFG，故A1C⊥平面EFG，即③正确； 连接AB1，则AB1//FG，故∠AB1C为异面直线FG与B1C所成角，且∠AB1C=，即④错误. 故所有正确命题的序号为①②③. 故选：C. 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理和性质定理，也考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，熟练掌握点、线、面位置关系中的判定定理和性质定理是解题的关键，属中档题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图2,中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10，AE=4，那么BC=____________。 参考答案： 15 略 12. 已知函数在实数集R上具有下列性质：①直线是函数的一条对称轴;②;③当时， 、从大到小的顺序为_______. 参考答案： 13. 设满足约束条件，则的最大值为          ． 参考答案： 由约束条件作出可行域如图： 由图可知，在点与两点之间的斜率最大. 把代入可得. 故答案为：.   14. 若函数的最小正周期是π，则实数=__________． 参考答案： ±2 函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）最小正周期是,即 所以±2 故答案为±2   15. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如 下表： 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为　　　　． 参考答案： 62 16. 的展开式中常数项是             ． 参考答案： -160 17. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线(t为参数)被曲线截得的弦长为，则a的值为             . 参考答案： －1或－5  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点. (1) 求椭圆的方程； (2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由. 参考答案： （1）设椭圆的方程为, 依题意:    解得:                           ∴ 椭圆的方程为. （2）设点,，则， ， ∵三点共线, ∴.                                                    ∴,                   化简得：.                             ①    由,即得.                              ∴抛物线在点处的切线的方程为， 即.                                             ②   同理，抛物线在点处的切线的方程为 .     ③   设点，由②③得：， 而，则.                                    代入②得，                                           则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为 若，则点在椭圆上，而点在直线上， ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点.                                ∴满足条件 的点有两个。 19. （本小题共13分）对任意实数列，定义它的第项为 ,假设是首项是公比为的等比数列. （Ⅰ）求数列的前项和； （Ⅱ）若，，. ①求实数列的通项； ②证明：. 参考答案： （Ⅰ）令这里 是公比为的等比数列. ， 当时，，，. ———2分 当时， 是公比为，首项为的等比数列；. .———4分 综上   .———6分 （Ⅱ）①由题设，， 叠加可得（）.———8分 ② .———10分 又 ，， 即，， .———12分 即.———13分 20. (本小题满分15分) 如图，椭圆上的点到左焦点为的最大距离是，已知点 在椭圆上，其中为椭圆的离心率。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交椭圆于另一点. 证明：对任意的，点恒在以线段为直径的圆内。 参考答案： 解：（1）由题可知，解得     椭圆的方程是                                     ………………6分 （2）令，则 直线的方程为，代入整理得            对任意，点恒在以线段为直径的圆内。            ………………15分 21. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求三棱柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）． 参考答案： （1）在△中，因为，， ，所以．…………（1分） ．………………（1分） 所以 ．…………（3分） （2）连结，因为∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．…………（1分） 在△中，，，，…………（1分） 由余弦定理，，…………（3分） 所以．…………（1分） 即异面直线与所成角的大小为．……（1分） 22. （12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx.      （1）求f（x）的周期,最大值以及取得最大值时对应的x值； （2）求f（x）的单调减区间. 参考答案： 解析：（1）由………………（2分） …（3分） ∴f（x）的周期是        ……………（4分） 当时,f（x）最大值是+1.………（6分）    （2）求减区间，