江苏省无锡市哈佛女子高级中学2022年高一数学理联考试题含解析

江苏省无锡市哈佛女子高级中学2022年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数，的值域为（    ） A．R B．[0,1] C．[2,5] D．[5,+∞) 参考答案： C 由题意得函数在区间上单调递增， ∴，即，∴在的值域为．故选C． 2. 下列各组函数表示相等函数的是(     ) A．y=与y=x+2 B．y=与y=x﹣3 C．y=2x﹣1（x≥0）与s=2t﹣1（t≥0） D．y=x0与y=1 参考答案： C 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数． 【解答】解：对于A，函数y==x+2（x≠2），与y=x+2（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B，函数y=（x≤﹣3x≥3），与y=x﹣3（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数； 对于C，函数y=2x﹣1（x∈R），与y=2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于D，函数y=x0=1（x≠0），与y=1（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数． 故选：C． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目． 3. 若集合A={0,1,2,4}，B={1,2,3}，则A∩B=（ ） A. {0,1,2,3,4}  B. {0,4} C. {1,2} D. {3} 参考答案： C 【详解】因为，所以选C. 考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键. 4. 点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的4条边和2条对角线中与平面EFGH平行的条数是（    ） A.0     B.1     C.2     D.3 参考答案： C 5. 已知向量=（-，-1），=（， ），且//，则=（   ） A．          B．            C．           D. 参考答案： A 6. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的为(   ) A.             B.               C.                 D.        参考答案： A 7. 在△ABC中，若，则（  ） A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75° 参考答案： D 分析：先根据正弦定理求C，再根据三角形内角关系求A. 详解：因为，所以 所以 因此， 选D. 点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 8. 已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是 （   ）                                           　A．   B．   C．或     D．或 参考答案： D 略 9. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1) =(x+1)f(x)，则f()的值是（ 　　 ） A．             B．1             C．             D．0 参考答案： D 10. 已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（　　） A． B． C．﹣4≤k≤ D．≤k≤4 参考答案： A 【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域． 【分析】根据题意，设直线m的方程为y﹣1=k（x﹣1），分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[（﹣3）﹣2k+k﹣1][（﹣2）﹣（﹣3）k+k﹣1]≤0，解可得k的范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线m过P（1，1），设直线m的方程为y﹣1=k（x﹣1）， 即y﹣kx+k﹣1=0， 若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上， 则有[（﹣3）﹣2k+k﹣1][（﹣2）﹣（﹣3）k+k﹣1]≤0， 解可得：k≥或k≤﹣4； 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f（x）=，在R上为增函数，则实数b的取值范围为　　． 参考答案： [，0] 【考点】函数单调性的性质．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据反比例函数、二次函数的单调性及增函数的定义便可得到，解该不等式组即可得出实数b的取值范围． 【解答】解：f（x）在R上为增函数； ∴； 解得； ∴实数b的取值范围为[]． 故答案为：[]． 【点评】考查分段函数单调性的判断，反比例函数、二次函数的单调性，以及增函数的定义． 12. 在等差数列{an}中，，则（  ） A. 3 B. 9 C. 2 D. 4 参考答案： A 【分析】 根据等差数列的性质得到 【详解】等差数列中，,根据等差数列的运算性质得到 故答案为：A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.   13. 函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是　    　． 参考答案： 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【专题】计算题． 【分析】根据x的范围确定的范围，然后求出函数的值域． 【解答】解：因为x∈[﹣1，1]，所以 所以 即f（x）∈ 故答案为： 【点评】本题考查指数函数的定义域和值域，考查基本知识掌握程度． 14. 已知，则的值为         。 参考答案： 15. 对于正整数若且为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定（如12的分解有其中，为12的最佳分解，则）。关于有下列判断：①②；③ ④。其中，正确判断的序号是                    . 参考答案： ②④ 16. 已知，则从小到大用“﹤”号排列为___________. 参考答案： 略 17. 参考答案： [-3，+∞) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意正数p，q都有，当x＞4时，f（x）＞，且f（）=0． （1）求f（2）的值； （2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】（1）抽象函数常用赋值法求解； （2）=﹣=﹣．按照单调性的定义，任取0＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=﹣=+﹣1=﹣， 由于＞4，可得﹣＞0，即可证明． （3）解抽象函数的不等式，常化为f（m）＞f（n）的形式，然后结合单调性求解． 【解答】（1）解：，∴， ∴， 解得f（2）=1． （2）证明：=﹣=﹣． 任取0＜x1＜x2， 则f（x2）﹣f（x1）=﹣=﹣=+﹣1=﹣， ∵＞4，∴﹣＞0， ∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）． ∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． （3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）﹣=1+1﹣=． f（x）+f（x+3）=f（x2+3x）+＞2． ∴， ∴，解得x∈（1，+∞）， ∴原不等式的解集为（1，+∞）． 【点评】本题考查了抽象函数的求值与单调性、不等式的性质，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1．求证： （1）OD∥平面A1ABB1； （2）平面A1C1CA⊥平面BC1D． 参考答案： （1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】 （1）连结，根据三棱柱的性质，得到四边形为平行四边形，从而得到O为的中点，结合题的条件，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）利用等腰三角形，得到，又因为，之后应用线面垂直的判定定理证得平面，再应用面面垂直的判定定理证得平面平面． 【详解】证明：（1）连结，在三棱柱中， 四边形为平行四边形， 从而O为平行四边形对角线的交点，所以O为的中点． 又D是AC的中点，从而在，中，有， 又平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为，D为AC的中点， 所以． 又因为， ，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的判定，属于简单题目.   20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式． （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值． 参考答案： 【考点】5D：函数模型的选择与应用；6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式． （II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为． 再由C（0）=8，得k=40， 因此． 而建造费用为C1（x）=6x， 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 （Ⅱ），令f'（x）=0，即． 解得x=5，（舍去）． 当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为． 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元． 【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一． 21. 已知的顶点,边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为（1）求点的坐标；（2）求边的长． 参考答案： 略 22. 现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 参考答案： （1）（2）当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 【分析】 （1）直接利用棱锥和棱柱的体积公式求解即可； （2）设，下部分的侧面积为，由已知正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.可以求出的长，