北京东高地第三中学高一数学理期末试卷含解析

北京东高地第三中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数                       (     ) A．45     B．50 C．55     D．60 参考答案： D 2. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是 （    ） 参考答案： B 3. 直线与圆的位置关系是（    ） A．相交   B．相切   C．相离   D．无法确定   参考答案： B 4. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（     ） A．         B．        C．        D． 参考答案： C 5. 下列各组中表示同一函数的是（  ） A.      B. C.             D. 参考答案： B 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 7. 函数的图像的一条对称轴是（   ） A．    B．      C．      D． 参考答案： C 略 8. 设，则两个集合的关系是（    ）      A．       B．       C．       D．以上都不对 参考答案： D 略 9. 下列各图中,不是函数图象的是(　  　) 参考答案： C 试题分析：只有C中同一个x可对应两个y值,所以不是函数，选C. 考点：函数定义 10. 直线3x+3y+7=0的倾斜角为 A.          B.          C.            D. 参考答案： D 直线3x+3y+7=0的斜率k=tanα=－1,∵0≤α＜π,∴α=. 故选D.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若  则=                   参考答案： 36 12. 已知圆x2+y2－4x－my－4=0上有两点关于直线l:2x－2y－m=0对称,则圆的半径是__________。 参考答案： 3 圆上有两点关于直线对称，所以圆心必在直线上，将圆心坐标代入直线方程解得，所以半径.   13. 函数的单调增区间是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣1） 【考点】复合函数的单调性． 【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可． 【解答】解：设t=x2﹣4x﹣5，则y=log为减函数， 由t=x2﹣4x﹣5＞0得x＞5或x＜﹣1， 即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）， 要求函数的单调增区间，即求函数t=x2﹣4x﹣5的递减区间， ∵当x＜﹣1时，函数t=x2﹣4x﹣5为减函数， ∴函数的单调增区间（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）． 14. 已知，则时的值是 参考答案： 1或2 15. 求值：sin50°（1+tan10°）=　   　． 参考答案： 1 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值． 【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案． 【解答】解：原式=sin50°?=cos40°===1 故答案为：1 16. 向量，，若与平行，则m=______. 参考答案： 【分析】 利用向量坐标运算可求得和，根据向量平行可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：； 则：，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据向量平行求解参数，涉及到向量的坐标运算，属于基础题. 17. 若f（x）是幂函数，且满足=2，则f（）=　　． 参考答案： 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】由待定系数法求得幂函数解析式，从而求出f（） 【解答】解：设f（x）=xα， 由==3α=2，得α=log32， ∴f（x）=xlog32， ∴f（）=（）log32=． 故答案为：． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）在中，已知，且. （1）求角和的值；（2）若的边，求边的长. 参考答案： （1）由，，得且， 可得， ， ， ，，  在中，， ； 在中，由正弦定理得：，. 19. 如图，图1是定义在R上的指数函数g（x）的图象，图2是定义在（0，+∞）上的对数函数h（x）的图象，设f（x）=h（g（x）﹣1）． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）求方程f（x）﹣x+1=0的解； （Ⅲ）求不等式f（x）＜2成立的x的取值范围． 参考答案： 【考点】指、对数不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）由图象求出g（x）和h（x）的解析式，代入f（x）=h（g（x）﹣1）化简； （Ⅱ）由（Ⅰ）化简方程，利用指对互化和指数的运算求出方程的根； （Ⅲ）由（Ⅰ）化简不等式，由对数函数的性质、运算法则，指数函数的性质求出不等式的解集． 【解答】解：（Ⅰ）由图知g（x）、h（x）的图象分别过（1，2）、（2，1）两点， ∴g（x）=2x，h（x）=， ∴f（x）=h（g（x）﹣1）=h（2x﹣1）=； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，方程f（x）﹣x+1=0是：﹣x+1=0， ∴=x﹣1，则2x﹣1=2x﹣1=， 即2x=2，解得x=1， ∴方程f（x）﹣x+1=0的根是1； （Ⅲ）由（Ⅰ）得，不等式f（x）＜2是：＜2， ∴＜， ∵函数h（x）=在（0，+∞）上是增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集是（0，）． 【点评】本题考查指数函数、对数函数的解析式、图象与性质，指数、对数的运算性质的应用，以及有关对数、指数的方程、不等式的求解，注意对数的定义域的限定． 20. 已知直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点为P． （1）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线方程； （2）求过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）先求出P点的坐标，设出直线方程代入即可；（2）根据直线的垂直关系求出直线方程即可． 【解答】解：（1）由解得 所以点P的坐标是（﹣2，2）． …                            因为所求直线与l3平行，所以设所求直线的方程为 x﹣2y+m=0． 把点P的坐标代入得：﹣2﹣2×2+m=0，得m=6． 故所求直线的方程为x﹣2y+6=0… （2）因为所求直线与l3垂直，所以设所求直线的方程为：2x+y+n=0． 把点P的坐标代入得：2×（﹣2）+2+n=0，得n=2， 故所求直线的方程为：2x+y+2=0． … 【点评】本题考察了求直线的交点坐标，考察直线的位置关系，考察求直线方程问题，是一道基础题． 21. 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)若D是BC的中点， 求证：AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)AM＝MA1是截面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由． 参考答案： (1)∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC， ∴由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB1C1C.        又∵CC1?侧面BB1C1C，∴AD⊥CC1. (2)证明：取BC1的中点E，连结DE、ME. 在△BCC1中，D、E分别是BC、BC1的中点， ∴DE∥CC1，且DE＝CC1， 又AA1綊CC1，∴DE∥AA1， 且DE＝AA1. ∵M是AA1的中点(由AM＝MA1知)，∴DE綊AM. ∴AMED是平行四边形，∴AD綊ME. 由(1)知AD⊥平面BB1C1C， ∴ME⊥侧面BB1C1C， 又∵ME?面BMC1， ∴平面BMC1⊥侧面BB1C1C. (3)是． 作MF⊥BC1于F，连FD. 若截面MBC1⊥侧面BB1C1C， 则MF⊥平面BB1C1C， 而AD⊥平面BB1C1C，∴MF∥AD. 又AM∥平面BB1C1C，∴AM∥FD， ∴FD∥CC1， 而D是BC中点，∴F也是BC1的中点， ∴AM＝DF＝CC1＝AA1，即AM＝MA1. 又由(2)可知AM＝MA1是截面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要条件． 22. 已知直线l经过两条直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线l的方程； （2）若圆C的圆心为点(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程. 参考答案： 解：（1）由已知得:, 解得两直线交点为, 设直线的斜率为，与垂直， 过点，的方程即. （2）设圆的半径为，依题意，圆心到直线的距离为   则由垂径定理得，∴ ∴圆的标准方程为.