山东省德州市第三中学高三数学理月考试题含解析

山东省德州市第三中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示 该线段的长度，则该几何体的体积为 A. 30            B.  27       C. 35           D. 36 参考答案： A 2. 若是的充分不必要条件，则下列判断正确的是（   ） A．是的必要不充分条件                  B．是的必要不充分条件 C．是的必要不充分条件                D．是的必要不充分条件 参考答案： C 试题分析：由是的充分不必要条件可知，，由互为逆否命题的等价性可得，∴是的必要不充分条件，故选C. 考点：1、四种命题的关系；2、充分条件与必要条件. 【方法点睛】本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假. 3. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 .（2，+∞）   .（-∞，-2）    .（1，+∞）     .（-∞，-1） 参考答案： B （解1）由已知，，令，得或， 当时，； 且，有小于零的零点，不符合题意。 当时， 要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选B （解2）：由已知，=有唯一的正零点，等价于 有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，，， ，要使有唯一的正零根，只需，选B 4. 对于函数，有如下三个命题： ①是偶函数； ②在区间上是减函数，在区间上是增函数； ③在区间上是增函数． 其中正确命题的序号是 （A）①②       （B）①③    （C）②③           （D）①②③ 参考答案： A 5. 如图，的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边轴，则斜边上的高（  ） A．  B．     C．       D． 参考答案： B 6. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1,2,…,n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ）     A．－1             B．0                C．               D．1 参考答案： D 7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为                         （    ）      A．   B．      C．      D． 参考答案： D 略 8. 设集合（    ）   A．  B． C． D．R 参考答案： C 略 9. 《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 丈，长 丈，上棱长 丈，高 丈，问：它的体积是多少？”已知 丈为 尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（    ） A． 立方尺         B． 立方尺       C. 立方尺         D． 立方尺 参考答案： A 10. 给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】不等式比较大小． 【分析】①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断． 【解答】解：①要证e＞2，只要证＞ln2，即2＞eln2， 设f（x）=elnx﹣x，x＞0， ∴f′（x）=﹣1=， 当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增， 当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减， ∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0， ∴f（2）=eln2﹣2＜0， 即2＞eln2， ∴e＞2，因此正确 ②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴ln2＞，因此正确， ③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正确， ④∵2π＜π2，∴＜，④正确； 正确的命题的个数为4个， 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： a≥1 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】数形结合． 【分析】构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围． 【解答】解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象， 方程|x|=ax+1有一个负根， 但没有正根，由图象可知 a≥1 故答案为：a≥1 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题． 12. 已知：。若同时满足条件 ①<0或<0②，则m的取值范围是         参考答案： （-4，-2） 略 13. （1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为　   　． 参考答案： -6 【考点】DA：二项式定理． 【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案． 【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为 C3013（2x）0?C4212（﹣x）2+C3112（2x）1?C4113（﹣x）1+C3212（2x）2?C4014（﹣x）0 ∴所求系数为C30?C42+C31?2?C41（﹣1）+C32?22?C4014=6﹣24+12=﹣6． 故答案为：﹣6． 14. 设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，则不等式exf（x）＞ex+2015（其中e为自然对数的底数）的解集为　　． 参考答案： {x丨x＞0} 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解． 【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0， ∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵exf（x）＞ex+2015， ∴g（x）＞2015， 又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2016﹣1=2015， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0， 则不等式的解集为：{x丨x＞0} 故答案为：{x丨x＞0}． 15. 如图，在矩形中，，， 在上，若，    则的长=____________ 参考答案： 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°. 因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝，故ED＝. 16. 设i是虚数单位，则复数等于　　． 参考答案：   【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解： =． 故答案为：． 17. （极坐标与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱锥P-ABC中，G是的重心. （1）请在棱AC上确定一点D，使得直线DG//平面PAB，并说明理由； （2）若，平面PAB⊥平面ABC，，求直线PB与平面PCA所成角的正弦值. 参考答案： （1）见解析 （2）． 【分析】 (1)由题意利用重心的性质和线面平行的判定定理即可确定点D的位置； (2)由题意利用等体积法求得点B到平面PCA的距离，然后结合几何性质可得线面角的正弦值. 【详解】（1）连接延长交于，连接， 因为是△的重心，所以， 在上取一点使得，连接，则在平面三角形中， 因为平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，，所以，且 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以，，由题知， 所以，且， 而，所以平面， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 由得:， ， 解得:，所以到平面的距离为， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角的度量等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 设正项等比数列{an}的首项，前n项和为Sn，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0． （Ⅰ）求{an}的通项； （Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出． （Ⅱ）由题设知．数列{nSn}的前n项和，．由此可知答案． 【解答】解：（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10， 即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20， 可得210?q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20． 因为an＞0，所以210q10=1，解得，因而． （Ⅱ）由题意知． 则数列{nSn}的前n项和，． 前两式相减，得=即． 【点评】本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件． 20. 设二次方程anx2﹣an+1x+1=0（n∈N*）有两根α、β，且满足6α﹣2αβ+6β=3． （1）试用an表示an+1； （2）求证：{an﹣}是等比数列； （3）若a1=，求数列{an}的通项公式． 参考答案： 【考点】数列递推式；一元二次方程的根的分布与系数的关系；等比关系的确定． 【分析】（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α﹣2αβ+6β=3整理即可得． （2）对（1）的结论两边同时减去整理即可证：数列{}是等比数列； （3）先利用（2）求出数列{}的通项公式，即可求数列{an}的通项公式． 【解答】解：（1）由韦达定理得：，， 由6α﹣2αβ+6β=3得6﹣=3， 故． （2）证明：因为=an﹣=（）， 所以， 故数列{}是公比为的等比数列； （3）当时，数列{}的首项， 故==， 于是．an=． 21. （12分）（2015秋?廉江市校级月考）已知函数f（x）=sinx+cosx． （1）求f（x）的最小正周期和振幅； （2）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象． （3）求函数f（x）的递增区间． 参考答案： 【