2022-2023学年湖北省黄冈市张体学中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖北省黄冈市张体学中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若不等式的解集是，则的值为（     ）  A．－10           B． －14            C． 10              D． 14 参考答案： B 2. 送快递的人可能在早上6：30﹣7：30之间把快递送到张老师家里，张老师离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，则张老师离开家前能得到快递的概率为（　　） A．12.5% B．50% C．75% D．87.5% 参考答案： D 【考点】几何概型． 【分析】根据题意，设送快递人到达的时间为X，张老师离家去工作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案． 【解答】解：设送快递人到达的时间为X，张老师离家去工作的时间为Y， 以横坐标表示快递送到时间，以纵坐标表示张老师离家时间，建立平面直角坐标系，张老师在离开家前能得到快递的事件构成区域是下图： 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件． 根据题意，只要点落到阴影部分，就表示张老师在离开家前能得到快递，即事件A发生， 所以P（A）===87.5%． 故选：D． 3. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是（        ） A. <           B.a2>b2      C. >    D.a|c|>b|c| 参考答案： C 略 4. 下列曲线中离心率为的是（    ）       A．       B．       C．    D． 参考答案： C 5. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段 AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论: ①AA1⊥MN       ②异面直线AB1,BC1所成的角为60° ③四面体B1-D1CA的体积为 ④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为(　　)    A．1      B.2     C．3 D．4 参考答案： D 略 6. 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于 (　　)． A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 参考答案： D 略 7. 将两个数交换,使,下面语句正确一组是 (   ) 参考答案： B 8. 设图F1、F2分别为双曲线(a＞0，b大于0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（　　） A．B． C． D．3 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解． 【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上） 又|PF1|+|PF2|=3b，所以， 两式相乘得．结合c2=a2+b2得． 故e=． 故选B 9. 已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是(     ) A．， B．， C．， D．，π] 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】利用离心率的范围进而求得a和c不等式关系，进而利用a，b和c的关系求得a和b的不等式关系，进而求得渐近线斜率k的范围，利用 k=tan确定tan的范围，进而确定θ的范围． 【解答】解：根据定义e==， ∵，2]． ∴b≤a≤b 而渐近线的斜率k= 所以1≤k≤ 所以45°≤≤60° 所以 90°≤θ≤120°，即，； 故选C 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对平面解析几何知识的综合运用． 10. 若x，y满足，则x﹣y的最小值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．2 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值． 【解答】解：x，y满足的区域如图：设z=x﹣y， 则y=x﹣z， 当此直线经过（0，3）时z最小，所以z 的最小值为0﹣3=﹣3； 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设 且,则的最小值为________. 参考答案： 16       12. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为    . 参考答案： 13. 设满足约束条件则的最小值是       。 参考答案： 14. 曲线在点处的切线方程为__________． 参考答案： 【分析】 先对函数求导，求出在点的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程. 【详解】因为，所以， 所以. 又因为， 所以切线方程为，即. 故答案为 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 15. 若x、y、z均为正实数，则的最大值为　　． 参考答案： 【考点】基本不等式．  【专题】不等式的解法及应用． 【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值． 【解答】解：∵x2+≥xy，y2+z2≥yz， ∴=≤=，当且仅当x=z= 时，等号成立， 故答案为：． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题． 16. 如图，扇形的弧的中点为，动点分别在线段上，且若，，则的取值范围是__ ▲  _． 参考答案： 【知识点】向量的减法运算，向量的数量积 【答案解析】解析：解：设OC=x，则BD=2x，显然0≤x≤1，=. 【思路点拨】在向量的运算中通常把所求的向量利用向量的加法与减法转化为用已知向量表示，再进行解答. 17. 某算法的程序框图如图3所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________ ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知函数f(x)=ex-1-x. (1)求在点(1,f(1))处的切线方程. (2)若存在x∈,使a-ex+1+x<0成立,求a的取值范围. (3)当x≥0时,f(x)≥tx2恒成立,求t的取值范围. 参考答案： (1)=ex-1,f(1)=e-2,f'(1)=e-1. ∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-e+2=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1. (2)a0时,>0,x<0时,<0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 又x∈,∴f(x)的最大值在区间端点处取到. f(-1)=e-1-1+1=,f(ln)=-1-ln,   f(-1)-f(ln)=-+1+ln=-+ln>0, ∴f(-1)>f(ln),∴f(x)在上的最大值为,故a的取值范围是a<. (3)由已知得x≥0时,ex-x-1-tx2≥0恒成立,   设g(x)=ex-x-1-tx2,∴g'(x)=ex-1-2tx. 由(2)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,   故≥x-2tx=(1-2t)x,从而当1-2t≥0,  即t≤时,≥0(x≥0),   ∴g(x)为增函数,又g(0)=0, 于是当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥tx2,∴t≤时符合题意. 由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0), 从而当t>时,,不符合题意. 综上可得t的取值范围为(-∞,]. 19. 为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共100名进行调查，调查结果如下：   支持 反对 合计 男性 35 15 50 女性 30 20 50 合计 65 35 100 （1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关； （2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取5人，从抽取的5人中再随机地抽取3人赠送小礼品，记这3人中持“支持”态度的有人，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考答案： 解：（1）， ∴没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关. （2）依题意可知，抽取的名女户主中，持“支持”态度的有人，持反对态度的有人，的所有可能取值为，，， ，，， ∴的分布列为： 1 2 3 ∴.   20. （18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N； （1）若k=1，，求|OM|的值； （2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值； （3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围． 参考答案： 【考点】向量在几何中的应用． 【专题】综合题；直线与圆． 【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值； （2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值； （3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围． 【解答】解：（1）∵，∴|OP|=， ∵OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=， ∴|OM|==； （2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=， ∴|OM|=， ∴△OMP的面积为××=， ∴； （3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0， 设直线OA的倾斜角为α，则， 根据题意得， 代入 化简得动点T轨迹方程为． ∴， 当且仅当时，|OT|取得最小值． ∴|OT|的取值范围是． 【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21. 已知m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，n＝(cosωx－ sinωx,2sinωx)，其中ω>0，设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的周期为π. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列．当f(B)＝1时，判断△ABC的形状． 参考答案： (1)∵m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)， n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)(ω>0) ∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cosωxsinωx ＝cos2ωx＋sin2ωx. ∴f(x)＝2sin(2ωx＋)． ∵函数f(x)的周期为π，∴T＝＝π.∴ω＝1. (2)在△ABC中，f(B)＝