吉林省长春市第十三中学2022年高三数学理期末试题含解析

吉林省长春市第十三中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合M={0，1}，N={11－a，lga，2a，a}，以下对“是否 存在实数a，使M∩N={1}”的判断正确的是   （    ）     A．存在，且有四个值                     B．存在，且有两个值     C．存在，且只有一个值     D．不存在 参考答案： 答案：D 2. 设等差数列满足： ，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是(     ) A.            B.             C.             D. 参考答案： D 略 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A．                B．  C．    D．  参考答案： D 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b， c,若，则△ABC的形状是（     ） A．等腰三角形                     B．直角三角形          C．等腰直角三角形                 D．等腰或直角三角形 参考答案： D 略 5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（   ）   （A） （B） （C） （D） 参考答案： B 考点：算法与程序框图. 6. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（　　） A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x| 参考答案： D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可． 【解答】解：A中f（x）非奇非偶； B中f（x）是偶函数； C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数； D中f（x）=是奇函数且在R上是减函数． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质． 7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 （A）　    （B）       （C）       （D）       参考答案： C 8. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验，分别得到如下等高条形图:根据图中信息,在下列各项中，说法最佳的一项是 A.药物B的预防效果优于药物的预防效果 B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D.药物A、B对该疾病均没有预防效果 参考答案： B 9. 命题“对任意R，都有”的否定是    A．存在R，使得            B．不存在R，使得              C．存在R，使得            D．对任意R，都有 参考答案： C 10. 已知p:为第二象限角，q:，则p是q成立的        A．充分非必要条件                                 B．必要非充分条件                                 C．充分必要条件                                    D．既非充分又非必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图放置的正方形,,分别在轴的正半轴上（含坐标原点）且，则的值是           . 参考答案： 12. 如果执行上面的框图，输入，则输出的数S=              . 参考答案： 13. ．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取__________人． 参考答案： 8 14. 记不等式组所表示的平面区域为，若直线与公共点，则的取值范围是      .   参考答案： ：不等式组表示的平面区域如图为三角形ABC区域，其中A、B坐标分别为(1，1)，(0，4)，实数a为区域内的点与点(－1，0)连线的直线的斜率，显然经过点A时斜率最小为，经过点B时斜率最大为4，所以实数a的范围是 15. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则实数c的取值范围是      ． 参考答案： 16. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于         . 参考答案： 17. 集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N=　　． 参考答案： {1，2} 【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可． 【解答】解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1，2}， ∴M∩N={1，2}． 故答案为：{1，2} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的极坐标方程为. (1) 将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2) 若点P(x，y)在圆C上，求x＋y的最大值和最小值．   参考答案： 解　(1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，                                     …… 3分 由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2， 令x－2＝cos α，y－2＝sin α， 得圆的参数方程为(α为参数)．                      …… 6分 (2)由上述可知 x＋y＝4＋(cos α＋sin α)＝4＋2sin，                     …… 10分 故x＋y的最大值为6，最小值为2.  略 19. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=． （I）求证：平面PQB⊥平面PAD； （II）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC， 试确定t的值 参考答案： （I）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．     ∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD，  ∴BQ⊥平面PAD．    ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．             ……………………5分 （II）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为；，， ，． 设，则，， ∵，                                       …………7分 ∴ ， ∴           ……………………10分 在平面MBQ中，，， ∴ 平面MBQ法向量为．        ∵二面角M-BQ-C为30°，  ， ∴ ．                                    ……………………14分   20. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率． （2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：x2= P（x2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考答案： 【考点】BO：独立性检验的应用． 【分析】（1）根据分层抽样，求得样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，由频率分布直方图日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，随机抽取2人，求得所有可能的结果，根据古典概型公式求得至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率； （2）据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2≈1.786＜2.706，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． 【解答】解：（1）由已知得：样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人， 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有60×0.05=3人，分别记为：A1，A2，A3， 25周岁以下组有工人40×0.05=2人，分别记为B1，B2， 从中随机抽取2人，所有可能的结果共10种，他们分别是（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B2），（A3，B2），（B1，B2）， 其中“至少有1名”，25周岁以下组的结果有7种， 故所求概率为P=； （2）由频率分别直方图可知：在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15人， “25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15人， 据此可得2×2列联表：   生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以K2=≈1.786＜2.706． 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． 【点评】本题考查根据频率分布直方图的应用，考查独立性检验的概率情况，以及随机分布的概率的计算，考查运算能力，属于中档题． 21. 某店销售进价为2元/件的产品，假设该店产品每日的销售量（单位：千件）与销售价格（单位：元/件）满足的关系式，其中． （1）若产品销售价格为4元/件，求该店每日销售产品所获得的利润； （2）试确定产品销售价格的值，使该店每日销售产品所获得的利润最大．（保留1位小数点） 参考答案： (1)千元；（2）当销售价格为元/件时，利润最大.   从而 考点：1.函数的实际应用问题；2.导数与函数的单调性、最值. 22. [选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵M= 的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵． 参考答案： 【考点】特征值与特征向量的计算． 【分析】利用特