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河北省保定市双塔中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2c＋1) = P(??，= 或<）
参考答案：
<
略
17. 在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是 ．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵a∈[0，2]，
∴f'（x）=3x2+a≥0
∴f（x）是增函数，
若f（x）在[﹣1，1]有且仅有一个零点，
则f（﹣1）?f（1）≤0
∴（﹣1﹣a﹣b）（1+a﹣b）≤0，
即（1+a+b）（1+a﹣b）≥0，
由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4﹣=，
∴P==，
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．
（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；
（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；
（III）通过变形，只需证明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，
由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，根据函数的单调性及零点判定定理即得结论．
【解答】解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）
∴f′（x）== （x＞0），
∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，
即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，
∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），
将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，
所以，b=﹣2e；
（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负情况进行讨论：
①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，
当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：
0
（a，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↓
↑
由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递增；
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+∞）；
（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣ex，
∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：ex﹣lnx﹣2＞0，
令g（x）=ex﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，
由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，
g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，
∵g（1）=e﹣1＞0， =，∴g（1），
∴g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，
设g（x）的零点为t，则g（t）=，即 （），
由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；
当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，
所以当x＞0时，，
又，故等号不成立，
∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．
【点评】本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，注意解题方法的积累，属于难题．
19. （本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若，求的值。
参考答案：
解：（Ⅰ）已知函数即，……………………3分
令，则，
即函数的单调递减区间是；…………………………6分
（2）由已知，………………9分
当时，.……………………12分
20. 数列中，，，其中＞0，对于函数 (n≥2)有.
求数列的通项公式；
（2）若，， … +，求证：
参考答案：
解：（1） ﹣=0
=
数列是以为首项，为公比的等比数列，
=
又 +… +
时， 时， ……………6分
（2）由 >1且，
﹣=>0
< … +]
=+ … +++ … +]=
又 > >
<
…………………………………12分
21. (本小题满分12分) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：
甲 乙
7 4 5
5 3 3 2 5 3 3 8
5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5
8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9
7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8
2 0 9 0
（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值;
(Ⅲ)在乙校抽取的样本中，从80分以上的个体中随机抽取两个，求抽到的两个个体都达到优秀（85分及 85分以上为优秀）的概率.
参考答案：
(I)，；(II)；（III）．
考点：茎叶图；用样本数据估计
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