2022-2023学年湖北省荆州市松滋桃树乡三望坡中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖北省荆州市松滋桃树乡三望坡中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数满足：①是偶函数；②在上为增函数。则与的大小关系是（      ） A. >     B. <     C. =     D. 无法确定 参考答案： A 2. 由两条曲线与所围成的封闭图形的面积为（  ）  A．          B．         C．2　      D．1 参考答案： A 略 3. 的值是                                           （    ）                        参考答案： B 略 4. 设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（  ）   A.            B .       C.        D. 参考答案： A 略 5. 已知正四面体A-BCD的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD，则所得截面的面积为（    ） A. 27 B. 27 C. 54 D. 54 参考答案： C 【分析】 先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可. 【详解】解：由内切球的表面积，得内切球半径 如图，过点作平面，则点为等边的中心 连接并延长交于点，且点为中点，连接 记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为 则，，， 又因为，所以 由，得，即，解得 因为过棱和球心O，所以即为所求截面 且 故选：C. 【点睛】本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键. 6. 函数f（x）=的最大值为M，最小值为N，则(     ) A．M﹣N=4 B．M+N=4 C．M﹣N=2 D．M+N=2 参考答案： D 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用分式函数的性质进行分解，结合奇函数的对称性即可得到结论． 【解答】解：f（x）===+1， 设g（x）=，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）是奇函数，则gmax（x）+gmin（x）=0， ∴M=gmax（x）+1，N=gmin（x）+1， ∴M+N=gmax（x）+gmin（x）+2=2， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数最值的判断，利用分式函数进行分解，利用奇函数的最值互为相反数，即可得到结论． 7. 若是方程式 的解，则属于区间          （   ） A．（0，1）       B．（1，2）.      C．（2，3）     D．（3，4） 参考答案： B 略 8. 函数，的单调递增区间是（    ） A．            B．和       C．        D． 参考答案： C. 试题分析：因为函数的单调递增区间满足：，即 ，又因为，所以，故应选C. 考点：1、函数的图像及其性质. 9. 已知集合，则A∩B=（    ） A. {1,2,3} B. {－1,0,1} C. {2,3} D. {－3,－2,－1,0,1} 参考答案： A 【分析】 先化简集合， 再与集合A取交集. 【详解】因为， 又因为， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查复集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10. 下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(     )  A. y＝2x         B. y＝           C.y＝2      D. y＝－x2 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题： ①函数y=sinx具有“P（a）性质”； ②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1； ③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增； ④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|成立，则函数y=g（x）是周期函数． 其中正确的是　　（写出所有正确命题的编号）． 参考答案： ①③④ 【考点】： 函数的周期性；抽象函数及其应用． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： ①运用诱导公式证明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）； ②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）； ③根据解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0）成中心对称， 且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增； ④利用定义式对称f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3； 解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）， ∴函数y=sinx具有“P（a）性质”； ∴①正确 ②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”， ∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x）， 周期为4， ∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1， ∴②不正确， ③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”， ∴f（x+4）=f（﹣x）， ∴f（x）关于x=2对称， 即f（2﹣x）=f（2+x）， ∵图象关于点（1，0）成中心对称， ∴f（2﹣x）=﹣f（x）， 即f（2+x）=﹣f（﹣x）， ∴得出：f（x）=f（﹣x）， f（x）为偶函数， ∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减， ∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减， 根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增； 故③正确． ④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”， ∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x）， ∴f（x）为偶函数，且周期为3， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】： 本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证． 12. =　      ． 参考答案： 4 【考点】定积分． 【分析】利用定积分的几何意义和微积分基本定理即可得出． 【解答】解：原式=， 其中表示如图所示单位圆的面积， ∴=． ∴原式==2+2=4． 故答案为：4． 13. 将甲、乙、丙、丁四名志愿者分到三个不同的社区进行社会服务，每个社区至少分到一名志愿者，则不同分法的种数为___　　　　　__． 参考答案： 36 14. 已知复数,给出下列几个结论: ① ; ②;③z的共轭复数为; ④z的虚部为－i.  其中正确结论的序号是           . 参考答案： ②③ 15. 已知有两个极值点、，且在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则的取值范围是   ▲   参考答案： 16. 已知，则=_________ 参考答案： 17. 在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an=　　． 参考答案： 2n+1 考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式． 解答： 解：设等差数列{an}的公差为d， ∵an+an+2=4n+6，① ∴an+2+an+4=4（n+2）+6，② ②﹣①可得an+4﹣an=8， 即4d=8，解得d=2， 把n=1代入an+an+2=4n+6可得2a1+4=10， 解得a1=3， ∴通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1 故答案为：2n+1 点评： 本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元米，中间两道隔墙建造单价为248元米，池底建造单价为80元平方米，水池所有墙的厚度忽略不计． 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 参考答案： 设污水处理池的宽为x米，则长为米， 则总造价             当且仅当 当长为16.2米，宽为10米时吗，总造价最低，，最低总造价为38880元。 19. 已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不同的零点． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）记两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值． 【分析】（I）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同跟等价于函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象即可得出． （Ⅱ）由（I）可知x1，x2分别为方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，因此原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．因此原式等价于．即恒成立．令，则不等式在t∈（0，1）上恒成立．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（I）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同跟等价于函数 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点． 又，即当0＜x＜e时，g'（x）＞0；当x＞e时，g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减． 从而． 又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→∞，在x→+∞时，g（x）→0， 所以g（x）的草图如下： 可见，要想函数与函数y=a在图象（0，+∞）上有两个不同交点，只需． （Ⅱ）由（I）可知x1，x2分别为方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2， 所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2）． 因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于． 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即． 所以原式等价于． 因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立． 令，则不等式在t∈（0，1）上恒成立． 令，则， 当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h'（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调递增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意； 当λ2＜1时，可见当t∈（0，λ2）时，h'（t）＞0；当t∈（λ2，1）时，h'（t）＜0， 所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调递增，在t∈（λ2，1）时单调递减． 又h（1）=0，所以h（t）在t