2022-2023学年上海职业高级中学(凌云校区)高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年上海职业高级中学(凌云校区)高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为(    ) A．3x-4y-5=0              B.3x+4y+5=0 C．3x-4y+5=0              D.3x-4y-5=0 参考答案： B 2. 某班有40名学生，其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个学生代表．在选到的学生代表是共青团员的条件下，他又是第一组学生的概率为（   ） A．                   B．                 C．                 D．   参考答案： A 3. 已知互不重合的三个平面，，，命题:若，，则；命题:若上不共线的三点到的距离相等，则，下列结论中正确的是（    ）． A．命题“且”为真 B．命题“或”为假 C．命题“或”为假 D．命题“且”为假 参考答案： C 若，，与可能相交，也可能平行，∴是假命题， 若上不共线三点分布在两侧时，与相交，∴是假命题． ∴或为假命题，故选． 4. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．16π         B．20π          C．24π           D．32π 参考答案： C 5. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（　　） 　 A． 1 B． 1+2 C． 1+2+3 D． 1+2+3+4 参考答案： D 6. 抛物线的焦点坐标是(    ) A．(4,0)          B．(2,0)             C．(1,0)        D．(,0) 参考答案： C ，抛物线的焦点是，故选C； 7. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(    ) A．假设a、b、c都是偶数           B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数     D．假设a、b、c至多有两个偶数 参考答案： B 8. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（    ） A.      B.      C.       D. 参考答案： A 略 9. 如右下图：已知点O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A、直线OA1⊥直线AD B、直线OA1∥直线BD1 C、直线OA1⊥平面AB1C1 D、直线OA1∥平面CB1D1 参考答案： D 10. 定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍 是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:①;   ②;    ③;    ④. 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （　　） A．① ② B．③ ④ C．② ④ D．① ③   参考答案： D 等比数列性质,,①; ②;③;④.选D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 参考答案： 解析：  由a－2b+c=0知，直线过定点P（1，－2）。又点P在椭圆上，所以P为所截线段的一个端点，设另一端点为Q（x1，y-1），线段PQ的中点为M（x0，y0），则。因为点     Q（x1，y-1）在椭圆上，所以=1。故得中点M轨迹方程为   12. 现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有　  　种不同的选派方案．（用数字作答） 参考答案： 55 【考点】D3：计数原理的应用． 【分析】根据题意，这2位同学要么只有一个参加，要么都不参加，则分两种情况讨论：①、若甲、乙两名位同学只有一个参加，只需从剩余的6人中再取出3人参加，②、若甲、乙2位同学都不参加，只需从剩余的6人中取出4人参加，由组合公式计算可得其情况数目，由分类计数原理，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①、甲、乙两位同学都只有一个参加，只需从剩余的6人中再取出3人参加，有=40种选派方法， ②、甲、乙两位同学都不参加，只需从剩余的6人中取出4人参加，有C64=15种选派方法， 由分类计数原理，共有40+15=55种； 故答案为：55， 13. 为虚数单位，实数满足，则    . 参考答案： 2   14. 将直角沿斜边上的高AD折成的二面角，已知直角边，，那么二面角的正切值为        ； 参考答案： 15. 由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是＿＿＿＿＿＿；  参考答案： 16. 命题“?x∈R，ax2﹣2ax+5＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： a＜0，或a≥5 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】若命题“?x∈R，ax2﹣2ax+5＞0恒成立”是假命题，则命题“?x∈R，使ax2﹣2ax+5≤0”是真命题，即a＜0，或，解得答案． 【解答】解：∵命题“?x∈R，ax2﹣2ax+5＞0恒成立”是假命题， ∴命题“?x∈R，使ax2﹣2ax+5≤0”是真命题， ∴a＜0，或， 解得：a＜0，或a≥5． 故答案为：a＜0，或a≥5 17. 在各项为正数的等比数列｛an｝中，若a3·a7=4，则数列｛｝前9项之和为____ 参考答案： -9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ax﹣lnx；g（x）=． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）求证：若a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立； （3）若h（x）=x2[1+g（x）]，当a＞1时，对于?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范围． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）推导出，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性． （2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx，，由此利用构造法和导数性质能证明a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立． （3）由，a＞1时，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用导数性质能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0，， ∵x＞0， ∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞0时，若x＞，则f′（x）＞0，∴f（x）在（，+∞）上是增函数， 若0＜x＜，则f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上是减函数． 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数． 证明：（2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx， ∴，∴x∈[1，e]时，f′（x）＞0恒成立． f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=e， 令H（x）=e﹣g（x）=e﹣，则H′（x）=，x∈[1，e]时，H′（x）≤0， ∴H（x）在[1，e]上单调递减，H（x）max=H（1）=e， ∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）． 故a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立． 解：（3）∵，a＞1时，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0， ∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上单调递增， f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]， 由h（x）=x2+1﹣lnx，得，∴x∈[1，e]时，h′（x）＞0， h（x）在[1，e]上单调递增， ∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]， ?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0）， ∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集， ∴，∴． ∴a的取值范围是[2，e+]． 19. 如图直角梯形OADC中，OA∥CD，∠D=60°，OA=1，CD=2，在梯形内挖去一个以OA为半径的四分之一圆，图中阴影部分绕OC所在直线旋转一周，求该旋转体的体积和表面积． 参考答案： 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积． 【解答】解：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球， ∵，∠D=60°，OA=1，CD=2， 故圆台的上底和半球的半径为1， 圆台的下底半径为：2， 圆台的母线长为：2， 圆台的高为：， 所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面； S半球=2π，S圆台侧=6π，S圆台底=4π． 故所求几何体的表面积为：2π+6π+4π=12π； 由V圆台=π（12++22]×=π， V半球=π×13=π； 所以，旋转体的体积为V圆台﹣V半球=π 【点评】本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题． 20. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：   患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男   5   女 10     合计     50 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为. (1)请将上面的列联表补充完整； (2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； 临界值表供参考： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考答案： (1) 见解析；(2)有 (1)列联表补充如下：   患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计 30 20 50 (2)因为K2的观测值K2＝， 所以K2≈8.333， 又P(K2≥7.789)＝0.005＝0.5%. 那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的． 21. （14分）在正方体中，如图Ｅ、Ｆ分别是 ，CD的中点， （1）求证：； （2）求．    参考答案： 建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1， 则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1）， E（1，1，），F（0，，0）， 则＝（0，，－1），＝（1，0，0），    ＝（0，1，），  ＝0，.    （２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－）， ＝－1＋0－＝－，     ，，     则cos. . 22. 在中，角的对边分别是，. （1）求角； （2）若，的面积，求的值.