陕西省咸阳市如意中学高三数学理期末试卷含解析

陕西省咸阳市如意中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系xOy中，设.若不等式组，所表示平面区域的边界为三角形，则a的取值范围为（） A.(1,+∞)    B.(0,1)    C.(－∞,0)      D. (－∞,1)∪(1,+∞) 参考答案： A 化简，得到，即表示直线的上面部分；化简，得到，即表示直线的上面部分。又因为两直线交于(0,1)点，且与所包围区域为三角形，所以 2. 已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（a∈R）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（　　） A．（﹣1，） B．（1，+∞） C．（，2） D．（，+∞） 参考答案： D 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可． 【解答】解：当x＞0时，f（x）=，函数的导数f′（x）==， 当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x=1时 函数取得极小值f（1）=e， 当x＜0时，f（x）=﹣，函数的导数f′（x）=﹣=﹣，此时f′（x）＞0恒成立， 此时函数为增函数， 作出函数f（x）的图象如图： 设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根， 当t=e时，t=f（x）有2个根 当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根， 当t≤0时，t=f（x）有0个根， 则f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根， 等价为t2﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2个相异的实数根， 其中0＜t＜e，t＞e， 设h（t）=t2﹣2at+a﹣1， 则，即，即， 即a＞， 即实数a的取值范围是（，+∞）， 故选：D 3. ．设x、y满足  则 A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最大值 D．既无最小值，也无最大值 参考答案： B 做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B. 4. 阅读右面的程序框图，输出结果s的值为 A．     B．     C．    D． 参考答案： C 略 5. 设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是(　 　) A．是偶函数               B．||是奇函数 C．||是奇函数               D．||是奇函数 参考答案： C 略 6. 点P在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长之比为3：4：5．则双曲线的渐近线方程是 A．    B．    C． D． 参考答案： 7. 等差数列的前n项和为，若，则等于 （　） A.52          B.54         C.56           D.58 参考答案： A 8. 集合M={x||x﹣3|＜4}，N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}，则 M∩N（　　） 　 A． {0} B． {2} C． ? D． {x|2≤x≤7} 参考答案： A 考点： 交集及其运算．3794729 专题： 计算题． 分析： 解绝对值不等式求出集合M，解二次不等式求出集合N，利用交集是定义求出M∩N即可． 解答： 解：因为|x﹣3|＜4，所以﹣1＜x＜7，所以M={x|﹣1＜x＜7}； 因为x2+x﹣2＜0，所以﹣2＜x＜1，所以N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}={﹣1，0}； 则 M∩N={x|﹣1＜x＜7}∩{﹣1，0}={0}． 故选A． 点评： 本题考查不等式的解法，求集合的交集的运算，注意集合中元素的限制条件，否则容易出错，是高考常会考的题型． 9. 以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为                                                 （    ）        A．                  B．                  C．                  D． 参考答案： 答案：A 10. 已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为 A.     B.      C. 2     D.3 参考答案： C 由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1） ∴kPA?kPB= ∵ ∴两式相减可得 , ∵kPA?kPB=3， ∴ ∴ ∴e=2 故选：C．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，若=+m（0＜m＜1），则?的取值范围是         ． 参考答案： [﹣，﹣1） 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用． 分析： 运用向量的数量积的定义可得，?=4，运用向量的三角形法则，化简?=4m2﹣2m﹣3，再由二次函数在闭区间上的最值求法，即可得到范围． 解答： ?=||?||?cos60°=4×=4， 若=+m（0＜m＜1）， 则?=?=（+m）?（﹣）=（+m）?（m﹣） =m2﹣﹣m=4m2﹣2m﹣3=4（m﹣）2﹣， 由于0＜m＜1，则m=，取得最小值﹣， 又m=0，4m2﹣2m﹣3=﹣3；m=1，4m2﹣2m﹣3=﹣1． 则有?的取值范围为[﹣，﹣1）． 故答案为：[﹣，﹣1）． 点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题． 12. 已知函数和的定义域均为R，是偶函数，是奇函数，且的图像过点，，则           . 参考答案： -6 13. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________.     参考答案： 略 14. （5分）（2015?嘉峪关校级三模）设命题p：2x2﹣3x+1≤0，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】： 集合． 【分析】： 利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解：由2x2﹣3x+1≤0得≤x≤1，即p：≤x≤1， 由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0， 即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1， 若q是p的必要不充分条件， 则，即，即0≤a≤， 故答案为：． 【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础． 15. 直线是曲线的一条切线，则实数＝         参考答案： 略 16. 函数f（x）=xex在点（1，f（1））处的切线的斜率是　　． 参考答案： 2e 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1得答案． 解答： 解：∵f（x）=xex， ∴f′（x）=ex+xex， 则f′（1）=2e． 故答案为：2e． 点评： 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题． 17. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是            . 参考答案： 由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π． （Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值； （Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值． 参考答案： 【考点】： 任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值． 【专题】： 三角函数的图像与性质． 【分析】： （Ⅰ）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果． （Ⅱ）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值． 解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得： 于是f（θ）===2   （Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示， 其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）． 因为P∈Ω，所以0≤θ≤， ∴f（θ）==， 且， 故当，即时，f（θ）取得最大值2； 当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1． 【点评】： 本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想． 19. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计. （1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:） 参考答案： 略 20. （本小题满分14分） 已知函数  。 （I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （II）求的单调区间； （III）若，函数，如果对任意的，总存在，求实数b的取值范围。 参考答案： 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】（I）a=2（II）增区间是（0，），减区间为（，+∞） （III）（-∞,ln2-3]∪[3-ln2，+∞） （Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=-a， 则在点（1，f（1））处的切线斜率为1-a，由于切线与直线x-y+1=0垂直，则1-a=-1，则a=2； （Ⅱ）f′（x）=-a=（x＞0）， 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增， 当a＞0时，f′（x）＞0时，0＜x＜，f′（x）＜0时，x＞． 综上，a≤0时，f（x）只有增区间：（0，+∞），a＞0时，f（x）的增区间是（0，）， 减区间为（，+∞）； （Ⅲ）a=1时，f（x）=lnx-x，由（Ⅱ）知f（x）在（1，2）上递减，则f（x）的值域为（ln2-2，-1）， 由于g（x）=bx3-bx的导数为g′（x）=b（x2-1）， 则当b＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上递增，g（x）的值域为（-b，b）； 当b＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（1，2）上递减，g（x）的值域为（b，-b）； 由于对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使得f（x1）=g（x2）， 则b＞0时，（ln2-2，-1）（-b，b），则有-b≤ln2-2，即有b≥3-ln2； b＜0时，（ln2-2，-1）（b，-b），则有b≤ln2-2，即有b≥ln2-3． 综上，可得实数b的取值范围是（-∞,ln2-3]∪[3-ln2，+∞）． 【思路点拨】（Ⅰ）求出函数的导