山东省莱芜市凤城高级中学2022年高二数学理模拟试题含解析

山东省莱芜市凤城高级中学2022年高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的导函数为，对任意，都有成立，则 A．      　　  B．        C．       　　 D．与的大小不确定 参考答案： C 令g（x），则g′（x）， 因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）， 所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，所以g（3）＞g（2），即， 所以 e3f（2）＜e2f（3）， 故选：C．   2. 函数的单调减区间是（    ）    A．(0，2)     B. (0，3)       C.(0，5)      D. (0，1) 参考答案： A 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 直接利用余弦的二倍角公式得解。 【详解】 将代入上式可得： 故选：B 【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于基础题。 4. 设下列关系式成立的是(       )    A        B         C        D   参考答案： A 5. 已知不等式对一切正整数n恒成立，则实数a的范围为（　　） A．（0，3） B．（1，3） C．（2，4） D．（3，+∞） 参考答案： B 【考点】数列的求和． 【分析】由于，于是原不等式化为＞，由于不等式对一切正整数n恒成立，可得log2（a﹣1）+a﹣，化简整理利用对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵， ∴不等式， 化为＞， 由于不等式对一切正整数n恒成立， ∴log2（a﹣1）+a﹣， 化为4﹣a＞log2（a﹣1）， ∴1＜a＜3． 故选：B． 　 6. 已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（　　） A．4　　　B．　　　C．　　　D． 参考答案： C 7. 从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有(　 　) A．36个    B．42个        C．30个        D．35个 参考答案： A 略 8. 已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则= （   ） A．                    B． C．                    D． 参考答案： B 略 9. 已知直线的方程为,直线的方程为(为实数),当直线与夹角的范围为时,的取值范围是             (   ) A.    B.      C.    D. 参考答案： C 10. 357与459的最大公约数是（  ）        A．3              B．7      C．17          D．51 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________. 参考答案： 【分析】 设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程。 【详解】设切点坐标为，，，， 则曲线在点处的切线方程为， 由于该直线过原点，则，得， 因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为：。 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程； （2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程。 12. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是                  .   参考答案： 略 13. 已知向量=(,), =(,)，若，则=　 　 　 　. 参考答案： 14. 直线关于直线对称的直线方程为______            __． 参考答案： 15. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是________． 参考答案： （1，3／2）∪(3／2,2) 略 16. 给出以下4个命题： ①，则是以为周期的周期函数； ②满足不等式组， 的最大值为5； ③定义在R上的函数在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是； ④已知所在平面内一点（与都不重合）满足，则与的面积之比为3。 其中命题正确的序号是_______ 参考答案： 略 17. 如图，已知球的面上有四点，平面,, ,则球的表面积为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在极坐标系中，已知曲线C1的方程为，曲线C2的方程为．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy． （1）求曲线C1，C2的直角坐标方程； （2）若曲线C2与y轴相交于点P，与曲线C1相交于A，B两点，求的值． 参考答案： （1）曲线的直角坐标方程为；曲线的直角坐标方程为；（2）. 【分析】 （1）根据，，即可化简两个极坐标方程，从而得到所求直角坐标方程；（2）根据的直角坐标方程可得其参数方程的标准形式，代入的直角坐标方程中，利用的几何意义，将所求问题变为求解，根据韦达定理得到结果. 【详解】（1）由，得 曲线的直角坐标方程为 由，得 曲线的直角坐标方程为： （2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为 直线的参数方程为（为参数） 代入曲线中，并整理得 设对应的参数分别为，则， 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、利用直线参数方程的几何意义求解线段之和或积的问题.解题关键是明确直线参数方程标准形式中所具有的几何意义，从而可利用韦达定理来解决. 19. 已知函数． （1）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （2）若函数在处取得极值，对,恒成立， 求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ），…………1分 当时，在上恒成立，函数 在单调递减， ∴在上没有极值点；……………2分 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．………4分 ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点．………………6分 （Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，------8分 ∴，………………10分 令，可得在上递减，在上递增，………12分 ∴，即．………………14分 略 20. 如图，△ABC是等腰直角三角形，，，E、F分别为AC、BC的中点，沿EF将折起，得到如图所示的四棱锥 （1）求证：AB⊥平面； （2）当四棱锥体积取最大值时， (i) 写出最大体积； (ii) 求与平面所成角的大小. 参考答案： （1）见解析；（2）(i)最大体积为；(ii). 【分析】 （1）由翻折前后的不变性，得，，且，可证得； （2）(i)当面底面时，四棱锥的体积达到最大； (ii)当四棱锥体积取最大值时，可得平面ABFE.，以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量和，再求两个向量夹角的余弦值，进而得到线面角的正弦值。 【详解】证明：（1）因为是等腰直角三角形，，分别为的中点， 所以，，又因为， 所以，因为， 所以.  （2）(i) 当面底面时，四棱锥的体积达到最大， 则. (ii) 因为四棱锥体积取最大值,所以平面ABFE. 分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则,，，,，，. 设平面的一个法向量为,由得, 取，得．则， 所以，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的大小为. 【点睛】本题以翻折为背景，考查线面垂直的判定定理、棱锥体积、线面角等知识，对线面角与向量的夹角关系要理清楚不能弄错，即。 21.   设，求证： 参考答案： 略 22. （本题满分10分）甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动。甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟都是走5m。 （1）问：甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？ （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，双方仍按原来的运动方式运动，那么从一开始运动后几分钟第二次相遇？ 参考答案： （1）设甲、乙开始运动后分钟第一次相遇。依题意，甲每分钟走的路程构成等差数列：其中，故分钟内甲走了米，而乙走了米。 所以有：     ，        解得 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次相遇。 （2）由（1）知第二次相遇时两人共走了米。 故         解得  答：从一开始运动后15分钟甲乙第二次相遇.