湖北省恩施市鹤峰县第一高级中学高三数学理联考试题含解析

湖北省恩施市鹤峰县第一高级中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “直线   (  　   ) 　　　　A、充要条件．　　　  B、充分非必要条件．  　　　　C、必要非充分条件．  D、非充分非必要条件． 参考答案： C 2. 已知函数f（x）=﹣，g（x）=lnx﹣x2+，实数a，b满足a＜b＜﹣1，若?x1∈[a，b]，?x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则b﹣a的最大值为（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】求出g（x）max=g（1）=3，令t=x﹣1（t＜0），设h（t）=﹣2﹣（t﹣），作函数y=f（t）的图象如图所示，由f（t）=3得t=﹣1或t=﹣4，即可得出结论． 【解答】解：∵g（x）=lnx﹣x2+， ∴g′（x）=， ∴0＜x＜1时＜X，g′（x）＞0；x＞1时，g′（x）＜0， ∴g（x）max=g（1）=3． f（x）=﹣=﹣2+（﹣x﹣1﹣）， 令t=x+1（t＜0），设h（t）=﹣2+（﹣t﹣），作函数y=h（t）的图象如图所示， 由f（t）=3得t=﹣1或t=﹣4， ∴b﹣a的最大值为3． 故答案为：3． 3. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（   ） A．4                         B．-3                        C．                    D．-2 参考答案： D 试题分析：由已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则，即，所以或．故选D． 考点：平面向量数量积的运算． 4. 已知复数z＝3＋4i，表示复数z的共轭复数，则＝(　　) A.   B．5            C.   D．6 参考答案： B 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.        B.            C.          D. 参考答案： 【知识点】三视图G2 B解析：根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图所示, 且平面，平面，底面为正方形，则有,所以和到平面的距离相等，且为，故, ，则该几何体的体积为. 【思路点拨】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，分别按照四棱锥和三棱锥的体积公式求解即可. 6. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，,而对角线A1B上存在一点P，使得取得最小值，则此最小值为 A. B. 3 C. D. 2 参考答案： A 【分析】 把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接并求出，就 是最小值． 【详解】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接．就是的最小值， ，，． 所以 故选：． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 7. 在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息： 时间 油耗（升/100公里） 可继续行驶距离（公里） 10：00 9.5 300 11：00 9.6 220 注：油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离，可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗，平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离． 从上述信息可以推断在10：00﹣11：00这1小时内(     ) ①行使了80公里； ②行使不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时．(     ) A．①④ B．②③ C．②④ D．③⑤ 参考答案： B 【考点】进行简单的合情推理；变化的快慢与变化率． 【专题】应用题． 【分析】根据油耗=，可继续行驶距离=，平均油耗=．可以算出实际用油为7.38．行驶距离为，和平均油耗和平均车速． 【解答】解：实际用油为9.5×300﹣9.6×220=7.38． 行驶距离，所以①错误，②正确． 设L为已用油量，△L为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，△S为一个小时内已行的距离， 得L+△L=9.6S+9.6△S，9.5S+△L=9.6S+9.6△S，△L=0.1S+9.6△S， ∴． 所以③正确，④错误； 因为行驶的时间为1小时，由②知平均车速不超过80公里/小时，故⑤错误． 故选B． 【点评】本小题主要考查变化的快慢与变化率、进行简单的合情推理等基础知识，考查学生的阅读能力和代入公式的计算能力．属于基础题． 8. 已知定义域为，值域为，则 A．       B．       C．      D． 参考答案： B 略 9. 已知正方形ABCD的边长为2，H是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由题意结合几何概型计算公式求得相应的面积的数值，然后求解概率值即可. 【详解】如图所示，以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，可拆为一个扇形与两个直角三角形， 其中扇形的半径为，圆心角为，两个直角三角形都是直角边为1的等腰直角三角形， 其面积为， 正方形面积，概率为， 故选：A. 【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可. 10. 已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 参考答案： B 因为，所以，所以．故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)=exlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________． 参考答案： e 分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由函数的解析式可得： ， 则： .即的值为e.   12. 某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为          ．（附：若，则，，） 参考答案： 0.8185 13. 在二项式的展开式中，含的项的系数是________ 参考答案： 10 试题分析：由二项展开式得，令，得，因此的项系数是，故答案为10. 考点：二项式定理的应用. 14. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_________． 参考答案： 略 15. 与圆O：x2+y2=2外切于点A（﹣1，﹣1），且半径2的圆的方程为　（x+3）2+（y+3）2=8　；若圆C上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： m∈（0，4）∪（8，12） 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；直线与圆． 【分析】（1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C（a，b），列方程求得a，b即可； （2）由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足＜d＜3．根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围． 【解答】解：设所求圆的圆心为C（a，b）， ∵切点A（﹣1，﹣1）与两圆的圆心O、C三点共线， ∴， 又|AC|=2， ∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=8 解得a=3，b=﹣3， ∴所求圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8； 由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足＜d＜3， ∴＜＜3， ∴m∈（0，4）∪（8，12）． 故答案为：（x+3）2+（y+3）2=8，m∈（0，4）∪（8，12） 【点评】本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题． 16. 方程在区间内的所有实根之和为       .（符号表示不超过的最大整数）。 参考答案： 2 略 17. 设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是________． 参考答案： (2,6) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足，． （1）若，且，求正整数m的值； （2）若数列{an}，{bn}均是等差数列，求的取值范围； （3）若数列{an}是等比数列，公比为q，且，是否存在正整数k，使，，成等差数列，若存在，求出一个k的值，若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）2；（2）[0,+∞)；（3）存在，k=1. 【分析】 （1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）设出数列，的首项和公差，代入原式化简得一个含n的恒等式，所以对应系数相等得到；（3）当时，，，为，，成等差数列. 【详解】解：（1）因为，且 所以 解得 （2）记数列，首项为，公差为；数列，首项为，公差为 则， 化简得： 所以 所以的取值范围 （3）当时，，，，，成等差数列. 下面论证当时，，，不成等差数列 因为，所以 所以，所以 所以 若，，成等差数列，则 所以，所以，解得 当时，，，为，， 因为 所以 所以当时，，，不成等差数列 综上所述：存在且仅存在正整数时，，，成等差数列 【点睛】本题考查了等差等比数列的通项与求和，已知等差等比数列可直接表示出其通项与前n项和，然后寻找解题思路. 19. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=AA1，∠BAA1=∠BAC=60°，点O是线段AB的中点． （Ⅰ）证明：BC1∥平面OA1C； （Ⅱ）若AB=2，A1C=，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）连接OC，OA1，A1B，以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC1∥平面OA1C． （Ⅱ）求出平面BCA1的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣A1的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）连接OC，OA1，A1B．∵CA=CB，∴OC⊥AB． ∵CA=AB=AA1，∠BAA1=∠BAC=60°， 故△AA1B、△ABC都为等边三角形， ∴OA1⊥AB，CO⊥AB，∴OA、OA1、OC两两垂直， 以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 设CA=CB=AA1=2， 则B（﹣1，0，0），C1（﹣1，，），O（0，0，0）， A1（0，，0），C（0，0，）， =（0，），=（0，），=（0，0，）， 设平面OA1C的法向量=（1，0，0）， ∵=0，且BC1?平面OA1C， ∴BC1∥平面OA1C． 解：（Ⅱ）∵AB=2，A1C=，∴B（﹣1，0，0），C（0，0，），A1（0，）， =（1，0，），=（1，）， 设平面BCA1的法向量=（x，y，z）， 则，取x=，得， 平面ABC的法向量=（0，0，1）， 设二面角A﹣BC﹣A1的平面角为θ， 则cosθ===． ∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为． 　 20. 已知不等式log2(ax2－3x＋6)>2的解集是{x|x<1或x>b