湖北省孝感市黄陂路综合中学高三数学理月考试题含解析

湖北省孝感市黄陂路综合中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则是成立的 A 充要条件    B 充分不必要条件   C 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 2. 已知实数x，y满足，若直线x+ky﹣1=0将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为(     ) A．﹣3 B．3 C． D． 参考答案： C 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，得到直线过AB的中点，求出相应的坐标即可得到k的值． 解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分）： ∵直线x+ky﹣1=0过定点C（1，0）， ∴C点也在平面区域ABC内， 要使直线x+ky﹣1=0将可行域分成面积相等的两部分， 则直线x+ky﹣1=0必过线段AB的中点D． 由，解得B（1，4）， 由，解得A（﹣1，2）， ∴AB的中点DD（0，3）， 将D的坐标代入直线x+ky﹣1=0得3k﹣1=0， 解得k=， 故选：C． 点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形的面积的应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题． 3. 已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数a的取值范围是（    ） A.    B.    C.   D. 参考答案： D 4. 设是的三个内角，且满足： 则等于（    ）                        参考答案： A 5. 已知集合，，那么“”是“”的（   ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）不充分也不必要条件 参考答案： B 6. 已知集合，则 A．      B．      C．      D． 参考答案： C 略 7. 已知直线与曲线有交点，则 A .         B. C.     D. 参考答案： D 8. 若，则=             . 参考答案： 9. 已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双 曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为 　　　A、　　　　　B、　　　　C、2　　　　D、 参考答案： A   【知识点】双曲线的简单性质．H6 解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d； 过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|； ∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：； ∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a； ∴根据双曲线的第二定义，；整理成：； ∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A． 【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可． 10. 已知函数是偶函数， 内单调递减，则实数m=（  ） A.2                 B.             C.                     D. 0 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数为奇函数，则      参考答案： 12. 已知函数则____________. 参考答案： 略 13. 直线与平面2X+Y+Z=0的交点为　　． 参考答案： （﹣0.2，0.8，﹣0.4） 【考点】空间中的点的坐标． 【分析】令=t，解出x=2+t，y=3+t，z=2t+4代入平面方程2X+Y+Z=0中得：2（2+t）+3+t+2t+4=0，求出t，即可得出结论． 【解答】解：令=t， 解出x=2+t，y=3+t，z=2t+4代入平面方程2X+Y+Z=0中得：2（2+t）+3+t+2t+4=0， ∴4+2t+3+t+2t+4=0， ∴t=﹣2.2， ∴x=2+t=﹣0.2，y=3+t=0.8，z=2t+4=﹣0.4， ∴直线与平面2X+Y+Z=0的交点为（﹣0.2，0.8，﹣0.4）， 故答案为：（﹣0.2，0.8，﹣0.4）． 14. 已知f(x)=,则f(f(5))=         参考答案： 1【知识点】单元综合B14 f(5)==2,f(2)==1, 【思路点拨】根据范围求出结果。 15. 已知，则          ． 参考答案： 由sinα=2cosα，得tanα=2， ∴sinαcosα===．   16. 如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是　     　． 参考答案： 54 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值． ∵S=10+9+8+…+2=54的值， 故输出54． 故答案为：54． 17. 如图（1），在四边形中，， ， 则的值为          参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a、b满足a·b≠0. (1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围． 参考答案： 　(1)设x10， 当a>0，b>0时，f(x1)－f(x2)<0，f(x)为增函数； 当a<0，b<0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x)为减函数． (2)由f(x＋1)>f(x)得，a·2x＋1＋b·3x＋1>a·2x＋b·3x，即a·2x>－2b·3x， 因为a·b<0，所以a、b异号． 19. （14分）设函数，且. （1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的值域. 参考答案： 【知识点】函数定义域、值域求法.B1 【答案解析】(1) 的定义域为;(2) .  解析：（1）由得， ---2分    ----3分 要使得有意义则有   ----6分 所以的定义域为.    ----7分 (2)由（1）知，  -----8分   令，则  ----11分 在上单调递减   --------12分 的值域为.   14分 【思路点拨】（1）由得；要使得有意义则有 所以的定义域为.（2）由（1）得 令，则 在上单调递减，的值域为 20. （本小题满分14分） 已知：定义在上的函数满足：对任意都有 。 （1）求证：函数是奇函数； （2）如果当时，有，求证：在上是单调递减函数。 参考答案： 【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.B3,B4 【答案解析】（1）见解析（2）见解析 解析：证明：令，令，即函数为奇函数. (2)证明：设，当时，有所以函数在上是减函数. 【思路点拨】分别利用函数的奇偶性与函数的单调性进行证明. 21. （12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值． （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级． （2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品 （i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY； （ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ． 参考答案： 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论； （Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是EY=2×=； （ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望EZ． 【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974， 因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；… （Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是EY=2×=；…（8分） （ⅱ）由题意可知Z的分布列为 Z 0 1 2 P 故EZ=0×+1×+2×=．…（12分） 【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 22. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点. （1）证明:； （2）若，判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比. 参考答案： 证明：（1）解:在中，∵， ∴，∴， 又∵， ∴平面， 又平面， ∴. （2）当时，设， ∴， 则在中，， 同理：， 据，∴， 整理得，，∴， 故为的中点. 此时平面把此棱柱分成两个几何体为:四棱锥和四棱锥. 由（1）知四棱的高为， ， ∴，又， ∴， 故两部分几何体的体积之比为.