黑龙江省哈尔滨市向阳中学高三数学理模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨市向阳中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，则是 A．最小正周期为的奇函数    B．最小正周期为的偶函数   C．最小正周期为的奇函数    D．最小正周期为的偶函数 参考答案： 解析：是周期为的偶函数，选B．   2. 已知，，则（    ） A． B．          C． D． 参考答案： A 3. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．是偶函数　　　　　　B．是奇函数 C．是偶函数　　　　　　D．是奇函数 参考答案： A 略 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 参考答案： C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体， 其底面面积S=×3×4=6， 棱柱的高为：5，棱锥的高为3， 故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24， 故选：C 5. 已知集合，则     A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 6. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（   ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数  B.任意一个无理数，它的平方不是有理数  C.存在一个有理数，它的平方是有理数  D.存在一个无理数，它的平方不是有理数  参考答案： B 7. 已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题： ①若；      ②若； ③若；  ④若. 其中正确命题的个数是（    ） A.0                 B.1                  C.2               D.3 参考答案： D. 试题分析：对于①，因为，所以直线与平面所成的角为，又因为∥，所以直线与平面所成的角也为，即命题成立，故正确； 对于②，若，，则经过作平面，设，，又因为，，所以在平面内，，，所以直线、是平行直线.因为，，∥，所以∥.经过作平面，设，，用同样的方法可以证出∥.因为、是平面内的相交直线，所以∥，故正确； 对于③，因为，∥，所以.又因为，所以，故正确； 对于④，因为∥，，当直线在平面内时，∥成立，但题设中没有在平面内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D. 考点：平面的基本性质及推论. 8. 已知：  则等于(    ) A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 参考答案： B 9. 已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（　　） A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，1} C．{1} D．{1，2} 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1=lg10}={x|0＜x≤10}， ∴A∩B={1，2}， 故选：D． 10. 数列{an}满足，则数列{log2an}的前10项和S10=（　　） A．55 B．50 C．45 D．40 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，从而，进而log2an=n，由此能求出数列{log2an}的前10项和S10． 【解答】解：∵数列{an}满足， ∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴，∴log2an=n， ∴数列{log2an}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55． 故选：A． 【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，，则_____________. 参考答案： {1,3,5} 12. 若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，则实数x的取值集合为　　． 参考答案： {x|x=π+2kπ，k∈Z} 【考点】三阶矩阵． 【专题】三角函数的求值；矩阵和变换． 【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论． 【解答】解：∵行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴sin（π+x）﹣=1， ∴﹣sinx﹣×（cosx﹣sinx）=1， 即cosx=﹣1，∴x=π+2kπ   （k∈Z）， 故答案为：{x|x=π+2kπ，k∈Z}． 【点评】本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 13. 若复数 (i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝    ． 参考答案： 2 14. (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为       . 参考答案： 0. 本题主要考查了二项展开式的通项公式，难度较低.通项公式为，含有项的系数为,含有的系数为,所以系数之差为0. 15. 已知函数.若对所有都有，则实数的取值范围为            参考答案： 16. 在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列的前项的和是__________? 参考答案： 17. 已知样本的平均数是，标准差是，则          . 参考答案： 96 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若函数图象的最低点为，正数a、b满足，求的取值范围. 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）先将写为分段函数的形式，然后根据分别解不等式即可； （2）先求出的最小值，然后根据图象的最低点为，求出和的值，再利用基本不等式求出的取值范围. 【详解】解：（1）由，得 ∴由可得或或 解得或或， 综上，； （2）∵ ∴当时，取得最小值3， ∴函数图象的最低点为，即，. ∵， ∴， ∴， ∴. 当且仅当，即，时取等号， ∴. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题. 19. （12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x>6），年销量为u万件，若已知 与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件。    （1）求年销售利润y关于x的函数关系式；    （2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润。 参考答案： 解析：（1）设 ∵售价为10元时，年销量为28万件； ∴ ∴ ∴…………6分    （2） 令  显然，当时，时， ∴函数上是关于x的增函数； 在上是关于x的减函数。……………………10分 ∴当x=9时，y取最大值，且 ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元。………………12分 20. 已知函数 , .   （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围. 参考答案：   解（1）当时，             所以曲线在点处的切线方程 （2） 1           当时， 解，得，解，得 所以函数的递增区间为，递减区间为在   时，令得或 i）当时，  函数的递增区间为，，递减区间为 ii）当时，   在上，在上             函数的递增区间为，递减区间为        （3）由（2）知，当时，在上是增函数，在上是减函数， 所以，                 存在，使 即存在，使， 方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于  所以有                     即解得：      方法二：将  整理得  从而有   所以的取值范围是.       略 21. 已知数列的前项和，且，数列是首项为1、公比为的等比数列. （1）若数列是等差数列，求该等差数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 参考答案： （1）当时，；当时，， 故； 因为是等差数列，故成等差数列， 即，解得，所以； 所以，符合要求； （2）由（1）知，； 所以 = 当时，； 当时，． 22. （本小题满分12分）在等差数列中，，，记数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（1）设等差数列的公差为， 因为即………………………………………………2分 解得 …………………………………………………………………………3分 所以． 所以数列的通项公式为． ……………………………4分 （2）因为， …………………………5分 所以数列的前项和    ．………………………………………………………8分 假设存在正整数、，且，使得、、成等比数列， 则．…………………………………………………………………………8分 即．……………………………………………………………9分 所以．    因为，所以． 即．因为，所以． 因为，所以．………………………………………………………11分 此时． 所以存在满足题意的正整数、，且只有一组解，即，．…………12分