福建省福州市第二十九中学高二数学理上学期期末试卷含解析

福建省福州市第二十九中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 参考答案： B 2. 已知直线与圆R有交点, 则     的最小值是 (   ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     A．            B．           C．         D． 参考答案： B 3. 设，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的值及其统计意义分别是 A．，即个数据的方差为      B．，即个数据的标准差为 C．，即个数据的方差为     D．，即个数据的标准差为   参考答案： C 略 4. 双曲线的实轴长是（   ） A   2     B        C   4       D   参考答案： C 5. 曲线在点(1，1)处的切线方程为   A.  4x-3y-l=0             B. 3x-2y-l=0   C．4x- y-3=0              D．x-y=0 参考答案： C 6. 若 ， 则有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（  　  ） A．  B．  C． D． 参考答案： B 略 7. 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　） A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案． 【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时， ∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0． ∴F（x）在当x＜0时为增函数． ∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）?g （x）=﹣F（x）． 故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数． ∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数． 已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0． 构造如图的F（x）的图象，可知 F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）． 故选D 8. 已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：的切线，则此切线长等于(　　) A.                                                               B. C.                                                             D. 参考答案： C 由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为.由于点P到圆心C，的距离为d＝ ＝，而圆C的半径为r＝，则切线长为＝ ＝，故选C. 9. 从装有两个红球和两个黑球的袋里任取两个球，则互斥而不对立的两个事件是　（  　）   A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”　　    B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”　 D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 参考答案： C 10. 某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（   ） A. 大前提错误 B. 推理形式错误 C. 小前提错误 D. 非以上错误 参考答案： B 【分析】 根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误. 【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确， 小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比， 所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误. 本题正确选项： 【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线（为参数，为常数）恒过定点  ▲  ． 参考答案： 12. 集合A＝{}，B＝{}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为______ 参考答案： 0或－2 略 13. 函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是                   ．（写出所有满足条件的函数的序号） 参考答案： ①② 14. 已知曲线C：，直线过与曲线C相切，则直线的方程是                                    。 参考答案： 或 略 15. 函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是　　　　　　． 参考答案： 1＜＜4 解析：依题意知，时，＜2恒成立． 所以时，－2＜＜2恒成立，即＜＜恒成立． 由于时，＝的最大值为3，最小值为2， 因此，3－2＜＜2＋2，即1＜＜4． 16. 若，则的值为          ． 参考答案： 84 由题可得： ， 故根据二项式定理可知：   17. 直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为　　． 参考答案：   【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOC=∠BOC， ∴∠AOC=60°， ∴C（b，2b）， 代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a， ∴c==a， ∴e==， 故答案为． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=，AC=4，D为PC的中点，PB⊥AD． （1）证明：BC⊥AB； （2）求二面角B—AD—C大小的正切值． 参考答案： （1）略（2） 19. 设f（x）=x2﹣2ax+2（a∈R），当x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【分析】区分图象的对称轴与区间[﹣1，+∞）的关系，根据二次函数在对称轴两边的单调性，求最小值即可． 【解答】解：f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2 f（x）图象的对称轴为x=a 为使f（x）≥a在[﹣1，+∞）上恒成立， 只需f（x）在[﹣1，+∞）上的最小值比a大或等于a即可 ∴（1）a≤﹣1时，f（﹣1）最小，解，解得﹣3≤a≤﹣1   （2）a≥﹣1时，f（a）最小，解 解得﹣1≤a≤1 综上所述﹣3≤a≤1 20. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜ 时，求实数取值范围．   参考答案： 解：（Ⅰ）由题意知， 所以． 即．····························· 2分 又因为，所以，． 故椭圆的方程为．···················· 4分 （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在. 设：，，，， 由得. ，.··············· 6分 ，. ∵，∴，， . ∵点在椭圆上，∴， ∴.·························· 8分 ∵＜，∴，∴ ∴， ∴，∴.················· 10分 ∴，∵，∴， ∴或， 略 21. 已知函数f (x)，当x、y∈R时，恒有f (x) - f (y) = f (x-y).     （Ⅰ）求证：f (x)是奇函数； （Ⅱ）如果x＜0时，f (x)＞0，并且f (2) =-1，试求f (x)在区间[–2，6]上的最值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意x∈[-2,6]，不等式f(x)＞m2+am-5对任意a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）证明：∵当x、y∈R时，恒有f (x) - f (y) = f (x-y)                 ∴ f (0) - f (0) = f (0-0)                    即f (0)=0    ………………………………………2分                 ∴f (0) - f (x) = f (0-x)                   即- f (x) = f (-x)                 所以f (x)是奇函数； …………………………………5分 （Ⅱ）设       则……………………………………7分       ∵ ∴       ∴ 即 故，函数f(x)在R上单调递减  …………………………………………8分     所以，函数f(x)在[-2,6]上单调递减 故，       ……………………10分   （Ⅲ）∵ 对任意x∈[-2,6]，不等式f(x)＞m2+am-5恒成立         ∴ m2+am-5＜………………………………………12分         即m2+am-2＜0         ∵ 对任意a∈[-1,1]，不等式m2+am-2＜0恒成立         ∴         解得，实数m的取值范围-1＜m＜1.………………………………14分 22. 已知为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式和前项和； （2）是否存在，使，，成等差数列，若存在，求出，若不存在，说明理由. 参考答案： （l）设的公差为.则∴ ∴ （2）， ， . 若存在，使，，成等差数列， 则，∴， ∴存在，使，，成等差数列.