贵州省贵阳市艺术中学高二数学理联考试题含解析

贵州省贵阳市艺术中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列有四种说法 ①若复数满足方程，则；②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点，，…，中的一个点； ③若, 则 ； ④用数学归纳法证明时，从到的证明，左边需增添的一个因式是．其中正确的是（     ）． A．①②　　      B．③　     C．③④　　    D．④ 参考答案： C 略 2. 设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） 参考答案： B 【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，﹣2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可． 【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，﹣2）， 且斜率为﹣a， ∵kMA==﹣， kMB==， 由图可知：﹣a＞﹣且﹣a＜， ∴a∈（﹣，）， 故选B． 3. 定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则 (   ) A.          B.           C.           D.     参考答案： C 4. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，如果，，，则 的面积为（　   　） A．          B．            C．3            D． 参考答案： B 5. 已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是(     ) A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20 参考答案： C 考点：等差数列的性质． 专题：计算题；等差数列与等比数列． 分析：利用等差数列的通项的性质，可得结论． 解答： 解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确； a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确； a6+a10≠a16，即C错误 a4+a12=a6+a10=20，即D正确． 故选：C． 点评：本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键． 6. 设二次函数的值域为，则的最小值为 A．2           B．4             C．8            D．17 参考答案： B 7. 已知函数f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），则（　　） A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣ C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为0 参考答案： D 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可． 【解答】解：f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1）， ∴f′（x）=xex﹣1﹣1， x＞0时， 令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1， 故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故f（x）极小值=f（1）=0， 故选：D． 8. 有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（      ）      A . (4!)2种    B. ·4!种   C.·4!种   D. 4!·3!种 参考答案： B 略 9. 若变量满足约束条件，且的最大值与最小值分别为和，则      （      ） A、8         B、7          C、6          D、5[KS5UKS5U.KS5U 参考答案： C 试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过点C时取最大值3，过点B时取最小值，因此，选C. 考点：线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 10. 已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 参考答案： A 【考点】等比数列． 【分析】先由等比数列的性质求出a2?a4=a32，a4?a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解． 【解答】解：由等比数列的性质得：a2?a4=a32，a4?a6=a52 ∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为 （a3+a5）2=25又∵an＞0 ∴a3+a5=5 故选A 【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为 . 参考答案： 7 作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1） 设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0）， 将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化， 可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值． ∴zmax=F（3，4）=7，即3a+4b=7． 因此，= （3a+4b）（）= [25+12（）]， ∵a＞0，b＞0，可得≥2=2， ∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7． 故答案为：7   12. 设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围是______. 参考答案： (-∞,-2)∪,提示：数形结合   13. 双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为__________ 参考答案： 【分析】 计算双曲线的渐近线，过点P作x轴垂线，根据，计算的面积. 【详解】双曲线，一条渐近线方程为： 过点P作x轴垂线PM， 的面积为 故答案为 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，三角形面积，意在考查学生的计算能力. 14. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为__________． 参考答案： 15. 圆心为C（1，﹣2），半径长是3的圆的标准方程是　　． 参考答案： （x﹣1）2+（y+2）2=9 【考点】圆的标准方程． 【分析】根据圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程． 【解答】解：∵圆的圆心为C（1，﹣2），半径长是3， ∴圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9 故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2=9 16. 一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为      ． 参考答案： 17. 曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为　　． 参考答案： 【考点】6G：定积分在求面积中的应用． 【分析】根据定积分得定义即可求出 【解答】解：曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为： S=sin（﹣x）dx=cos（﹣x）|=1﹣=， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 设椭圆过点(1， )，F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e＝．    （1）求椭圆C的方程；    （2）已知O为坐标原点，直线过椭圆的右焦点F2与椭圆C交于M、N两点．若OM、ON 的斜率满足 求直线的方程． 参考答案： （1）由题意椭圆的离心率∴． ∴．∴． ∴椭圆方程为． 又点(1，)在椭圆上，∴，∴=1． ∴椭圆的方程为．    （2）若直线斜率不存在，显然不合题意，∴直线的斜率存在． 设直线为，代入椭圆方程，得 ．                              依题意． 设，， 则，． 又 ＝． 从而=-3，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1． 故所求直线MN的方程为3x－y－3=0或x＋y－1=0． 19. （本小题满分10分） 已知为等比数列，；数列的前n项和满足． （1）        求和的通项公式；（2） 设=，求． 参考答案： （1） 设的公比为,由,得所以，                                    （2）① ②       20. 某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了50名教师.根据这50名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)， [50,60)，…，[80,90)，[90,100]. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）从评分在[40,60)的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[50,60)的概率. 参考答案： 解：(1)因为(0.004＋0.006＋0.018＋a×2＋0.028)×10＝1， 所以a＝0.022 (2)受访教师中评分在[50，60)的有： 50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访教师中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2…8分 从这5名受访教师中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2} 又因为所抽取2人的评分都在[50，60)的结果有3种，即{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，故所求的概率为 21. 已知椭圆C：，右顶点为(2,0)，离心率为，直线l1：与椭圆C相交于不同的两点A，B，过AB的中点M作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆C相交于不同的两点C，D，且CD的中点为N． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设原点O到直线l1的距离为d，求的取值范围．     参考答案： 解：（Ⅰ）得.  ...... 4分 （Ⅱ）由  得， 设，，则                故.                              :，即 .    由得， 设，, 则， 故.                故= .        又.                                               所以=.  令， 则= .     22. 从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数． 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？ （2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？ （3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示） 参考答案： （1）576；（2）576；（3）144 【分析】 （1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列； （2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列； （3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决. 【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个． （2）五位数中，