2022年湖南省邵阳市莨山镇窑市中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 的二项展开式的第三项为，则关于的函数图像大致形状为（ ）
参考答案：
D
略
2. 设函数 若是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D． 4
参考答案：
A
3. 正三棱柱中，，则三棱锥—的体积为
（A）1 （B）3 （C） （D）
参考答案：
A
略
4. 已知有穷数列中，，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）
A． B． C. D．与的大小关系不确定
参考答案：
A
5. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（ ）
A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势
B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加
C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加
D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图，逐一分析给定四个上结论的真假，可得答案．
【解答】解：由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图可得：
2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速没有明显上升的趋势，故A错误；
相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加，故B正确；
相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率没有明显增加，故C错误；
相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率没有明显增加，故D错误；
故选：B．
6. 在复平面内，复数 对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
D
略
7. “a=﹣1”是“直线x+ay=1与直线ax+y=5平行”的（ ）条件．
A．充分但不必要 B．必要但不充分
C．充分 D．既不充分也不必要
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】a=0时，两条直线不平行；a≠0，由两条直线平行可得：﹣=﹣a，解得a．即可判断出结论．
【解答】解：a=0时，两条直线不平行；
a≠0，由两条直线平行可得：﹣=﹣a，解得a=±1．
∴“a=﹣1”是“直线x+ay=1与直线ax+y=5平行”的充分不必要条件．
故选：A．
8. 已知sin（）=，则cos（2）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
参考答案：
A
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由二倍角公式可得cos（﹣2α），整体利用诱导公式可得cos（2）=﹣cos（﹣2α），代值可得．
【解答】解：∵sin（）=，
∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，
∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]
=﹣cos（﹣2α）=﹣
故选：A
【点评】本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和诱导公式，属基础题．
9. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 函数的零点所在的区间是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示,已知与⊙相切,为切点,过点P的割线交圆于两点,弦,相交于点,为上一点,且,若,
,则=___________.
参考答案：
12.
已知，且，则的值是 .
参考答案：
答案：
13. 已知向量，，则 .
参考答案：
14. 数列中，若，（），则 .
参考答案：
略
15.
设为坐标原点点满足则的最大值为 。
参考答案：
答案:
16. 如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程；正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接着正方形……如此继续。若共得到31个正方形，设初始正方形边长为1，则最小正方形的边长为 ．
参考答案：
17. 已知曲线在点处的切线平行于直线，则___▲___.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.
( 1)求an及Sn；
(2)令，求数列{bn}的前n
参考答案：
略
19. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出．
（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值．
解答： 解：（1）设，则A处的切线方程为，
可得：，
∴；
∴△AFQ为等腰三角形．
由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，
∴|AF|=4，得：
∴p=2，C：x2=4y．
（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为
联立得到点P，联立得到点M．
同理，
设h为点P到MN的距离，则== ①
设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，
由得到x2﹣4kx﹣4b=0，
得代入①得：S△==，
要使面积最小，则应k=0，得到②
令，得=，则=，
所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增，
所以当时，S取到最小值为，此时，k=0，
所以，解得．
故△PMN面积取得最小值时的x1值为．
点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．
20. 已知f（x），x∈R是有界函数，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立．
（1）F（x）=f（x+1）﹣f（x）是有界函数，则f（x），x∈R是否是有界函数？说明理由；
（2）判断f1（x）=，f2（x）=9x﹣2?3x是否是有界函数？
（3）有界函数f（x），x∈R满足f（x+）+f（x+）=f（x）+f（x+），f（x），x∈R是否是周期函数，请说明理由．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）根据条件举反例f（x）=x，即可判断，
（2）根据函数的性质求出函数的值域即可，
（3）根据条件进行化简，结合函数周期性的定义进行判断．
【解答】解：（1）否，反例：f（x）=x，F（x）=f（x+1）﹣f（x）=1有界，但f（x）=x无界．
（2）当x=0时，f1（x）=0，
当x≠0时，f1（x）=，
当x＞0时，x+﹣2≥2﹣2=2﹣2，此时f1（x）∈（0，]，
当x＜0时，x+﹣2≤﹣2﹣2=﹣2﹣2，此时f1（x）∈[，0），
综上f1（x）∈[，]，有界，
f2（x）=9x﹣2?3x=（3x﹣1）2﹣1≥﹣1，则|f2（x）|≥0，则f2（x）无界．
（3），
∴，，
综上，
∴f（x+1）﹣f（x）=f（x+2）﹣f（x+1）
∴f（x+n）=f（x）+n（f（x+1）﹣f（x）），∵f（x）有界，∴f（x）=f（x+1），是周期函数．
21. （本小题满分12分）
如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为l，3，5，7．
规定：击中A，B，C，D区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶（即击中最大圆之外的某点）得0分．
( I)甲射击时脱靶的概率为0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上
的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；
(Ⅱ)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5．
(i)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；
(ii)乙、丙二人各射击一次，记U，y分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U， V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜（即U
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