2022年湖北省黄冈市育才中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年湖北省黄冈市育才中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过球面上一点作球的互相垂直的三条弦，已知，，则球的半径为(    ) A.1 B. C. D. 参考答案： D 2. 中，若且，则的形状是 A. 等边三角形     B. 等腰三角形     C. 等腰直角三角形     D. 直角三角形 参考答案： C 由，得，所以得，所以。所以，所以，即，所以，所以，即，所以，，即三角形为等腰直角三角形，选C. 3. 已知等比数列的前项和为，且则 A． B．4 C．2 D． 参考答案： C 4. 如图，在矩形OABC内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为(　　) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为，再由题意得到矩形的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 【详解】由题意，阴影部分的面积为， 又矩形的面积为， 所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为 . 故选B 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型. 5. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(     ) A．15 B．105 C．245 D．945 参考答案： B 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值． 解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值， ∵跳出循环的i值为4， ∴输出S=1×3×5×7=105． 故选：B． 点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． 6. 的展开式中，的系数为（   ） A．154         B．42       C. －42        D．126 参考答案： B 7. 已知p：函数在［3,＋∞）上是增函数，q：函数在［3,＋∞）是增函数，则p是q的 A．充分不必要条件        B．必要不充分条件 C．充要条件              D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 8. 已知函数 则函数的零点个数为（    ）    A．          B．         C．          D． 参考答案： C 略 9. 下列各小题中，是的充要条件的是 （1）或；有两个不同的零点。 （2）     是偶函数。 （3）  。 （4）     。 （A） （B）  （C）  （D） 参考答案： 答案：D. 解析：（2）由可得，但的定义域不一定关于原点对称；（3）是的既不充分也不必要条件。 10. 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为(     ) A．3 B． C．2 D． 参考答案： A 考点：简单空间图形的三视图． 专题：空间位置关系与距离． 分析：求出四个顶点在yOz平面上投影的坐标，分析正视图的形状，可得答案． 解答： 解：（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1）， 在yOz平面上投影的坐标分别为：（0，0，0），（0，2，0），（0，2，2），（0，0，1）， 如下图所示： 即四面体的正视图为上下底长度分别为1，2，高为2的梯形， 其面积S==3， 故选：A 点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中画出几何体的正视图是解答的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若斜的内角成等差数列,则        参考答案： 12. 展开式中的系数是　　　　　　　　　.（用数字作答） 参考答案： 10 展开式的通项为，由，得，所以，即的系数是10. 13. 已知函数， 记，    ，则m的最大值为        参考答案： 5 略 14. 一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的　　倍． 参考答案： 2 考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断． 解答： 解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高 ∴设底面半径为r，高为h， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴πrl=2πr2，l=2r h=r ∴圆柱的侧面积=2πrl=2πr2， 其底面积=πr2 ∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍， 故答案为：． 点评： 本题考查了旋转体的几何性质，表面积的运算公式，属于中档题． 15. 已知函数，函数，则不等式的解集为_______. 参考答案： [－2,2] 因为，，故是偶函数， 故 可画出的图像， 令 故解集为. 故答案为：.   16. 从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是 参考答案： 17. 如图，如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=    ． 参考答案： 考点：与圆有关的比例线段． 专题：直线与圆． 分析：由题设条件推导出OC=CA=1，OB=2，BC=，由相交弦定理得（2+1）?（2﹣1）=BC?CD，由此能求出CD． 解答： 解：如图，∵A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2， C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D， ∴OC=CA=1，OB=2， ∴BC==， ∴由相交弦定理得（2+1）?（2﹣1）=BC?CD， ∴CD==． 故答案为：． 点评：本题考查与圆相关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理和相交弦定理的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形， ，且FA= FC (l)求证：平面BDEF： (2)求证：FC//平面EAD     (3)设AB=BF=a，求四面体A-BCF的体积。 参考答案： （I）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO. 因为四边形ABCD为菱形，所以，                     …………1分 又FA=FC，且O为AC中点.所以.                       …………2分 因为， 所以.                          ……………………………4分 （II）证明：因为四边形与均为菱形， 所以 又， 所以平面                       ………………………………6分 又 所以.                             ………………………………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形． 因为为中点，所以 由（Ⅰ）知      ，故  .                                              ……………9分      易求得   ……………10分 ∴………12分 略 19. （本小题满分14分）   已知函数（e是自然对数的底数，e=2.71828……）   (1)若k=e，求函数的极值；   (2)若，求函数的单调区间；   (3)若，讨论函数在上的零点个数． 参考答案： 解：（1）由得，所以．                           …………1分         令，得，解得．            由得，由得，         当变化时，、的变化情况如下表： 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增                                                                             …………2分 所以当=1时，有极小值为0，无极大值．                            …………3分 （2）由，得．          ①当时，则对恒成立，            此时的单调递增，递增区间为．                            …………4分          ②当时， 由得到， 由得到，     所以，时，的单调递增区间是；递减区间是． …………6分       综上，当时，的单调递增区间为；             当时，的单调递增区间是；递减区间是． ………7分 （3）解法一：    ①当时，，对恒成立，所以函数在上无零点．………8分    ②当时，由（2）知，对恒成立，函数在上单调递增， 又，                                         …………9分    所以函数在上只有一个零点．                                 …………10分 （若说明取绝对值很大的负数时，小于零给1分） ③当时，令，得，且在上单调递减，在 上单调递增，在时取得极小值，即在上最多存在两个零点． （ⅰ）若函数在上有2个零点，则，解得；…11分 （ⅱ）若函数在上有1个零点，则或，解得或；                                                               …………12分 （ⅲ）若函数在上没有零点，则或，解得 ．                                                        …………13分         综上所述， 当时，在上有2个零点； 当或时，在上有1个零点； 当时，在上无零点．                   …………14分       解法二：        ． 当时，对恒成立，所以函数在上无零点．8分   当时，在上的零点就 是方程在上的解，即函数 与在上的交点的横坐标．   …………9分 ①       当时，如图1， 函数与只在上 有一个交点，即函数在上有一个零点．                        …………10分   ②当时， 若相切时，如图2， 设切点坐标为 ，则 即切线的斜率是 所以，解得， 即当时，只有一个交点, 函数 在上只有一个零点；…………11分 由此，还可以知道，当时，函数在上无零点．         …………12分 当过点时，如图3，， 所以时，在上 有两个交点，即函数在上有两个零点； 时，在上只有一个 交点，即函数在上只有一个零点．                            …………13分 综上所述，当时，函数在上有2个零点； 当或时，函数在上有1个零点； 当时，函数在上无零点．                …………14分 20. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围. 参考答案： （1）因为，所以， 所以，所以. 因为不等式的解集为， 所以，解得. （2）由（1）得.不等式恒成立， 只需， 所以，即， 所以的取值范围是. 21. 若， 且 （1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）