2022年湖南省郴州市清和中学高一数学理联考试题含解析

2022年湖南省郴州市清和中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是（     ）                A．                B．               C．       D． 参考答案： C 略 2. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（     ） A．等腰三角形           B．直角三角形    C．等腰直角三角形        D．等腰或直角三角形 参考答案： D 3. 函数的零点所在的区间为                   （    ） A.      B.        C.         D. 参考答案： B 4. 已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则的值为（   ） A．-1      B．1       C．-2       D．2 参考答案： D 5. 已知向量则（　　） A.23              B.57              C.63               D.83 参考答案： D 6. 设，则的值是（     ） A.     B.0    C.59     D. 参考答案： A 略 7. 若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A．   B．     C．     D． 参考答案： D 8. 已知直线恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 A.2          B.        C.4        D. 参考答案： C 9. 已知点，和向量，若，则实数的值为（  ）   A.             B.            C.              D.  参考答案： B 略 10. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且，则满足的的取值范围为__________． 参考答案： (－1,1) 【分析】 由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足的x的取值范围即可． 【详解】∵定义在R上的偶函数f（x）在x∈(0，+∞）上单调递增， ∴则由f（x）＜0=f（），可得, 即x， 故答案为：（-1，1）． 12. 设数列的前项和为，关于数列有下列四个命题： ①若既是等差数列又是等比数列，则； ②若，则是等比数列； ③若，则是等差数列； ④若，则无论取何值时一定不是等比数列。 其中正确命题的序号是         ； 参考答案： 略 13. 函数，的值域是_____________． 参考答案： [0.15] 14. 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则=　　． 参考答案： 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系OO﹣xyz，利用向量法能求出的值． 【解答】解：以D为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz， 设AB=a，AA1=c， 则A（a，0，0），E（a，0，），D（0，0，0）， B（a，a，0），D（0，0，c），O（）， =（a，0，），=（a，a，0）， =（）， ∵OA⊥平面BDE， ∴，解得c=， ∴==． 故答案为：． 【点评】本题考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 15. 已知是定义在上的奇函数，若它的最小正周期为，则________ 参考答案：     ； 16. 方程4x－2x＋1－3＝0的解是　       　。 参考答案： log23 17. 已知集合，，若，则的取值范围是___________。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知正四棱锥中，点分别在上，且. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求二面角的余弦值.   参考答案： 证明：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面. ，所以. 以为坐标原点，，方向 分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图：                          ……2分 则，，，，                故， ， 所以，， ，   所以与所成角的大小为.    ……8分 （2）， ，. 设是平面的一个法向量，则,， 可得 令，，，即，    ……10分 设是平面的一个法向量，则，， 可得 令，，，即， …12分 ， 则二面角的余弦值为.……16分 19. 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数、，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L． （1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）； （2）对于函数，判断其在区间上是否具有性质L，并用所给定义证明你的结论； 参考答案： 解：（1）（或底在上的其它对数函数）-------------------------3分 （2）函数在区间上具有性质L ----------------------------------5分 证明：任取、，且， 则 因为、且，所以，， 即，故， 所以函数在区间上具有性质L . ---------------------------------12分 略 20. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表，如下： 分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100） 频数（个） x 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率； （2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？ （3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量之差的绝对值大于5的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法． 【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 【解答】解：（1）重量在[90，95）的频率为； （2）由x+10+20+15=50得x=5，所以重量在[80，85）的个数为：； （3）由（2）知，重量在[80，85）的个数为1，记为x重量在[95，100）的个数为3，记为a，b，c．从抽取的4个苹果中任取2个，基本事件有：（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c）6种，其中满足“重量之差的绝对值大于5”即：抽取的两个苹果重量在[80，85）和[95，100）中各一个，包含（x，a），（x，b），（x，c）3种情况，所以概率为：． 【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 21. 某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。 （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。 参考答案： 解：（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元----1分 由题设=，=，．             ----------- 3分 由图知，又           从而=，=，         --- ------ 6   分 （2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元，设企业的利润为y万元 Y=+=，（），-----------8分         令 ------10分 当，，此时=3．75       ----------13 分 当A产品投入3．75万元，B产品投入6．25万元时，企业获得最大利润约为4万元。--14分 22. 已知函数 （1）当时，求的值域； （2）当，时，函数的图象关于对称，求函数的对称轴。 （3）若图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，又知的所有正根从小到大依次为，且，求的解析式。 参考答案： 解：（1）当时， 当时，值域为： 当时，值域为： （或将分三类讨论也行） （2）当，时，且图象关于对称。 ∴      ∴函数即： ∴   由 ∴函数的对称轴为： （3）由 （其中，） 由图象上有一个最低点，所以 ∴            ∴ 又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，则 又∵的所有正根从小到大依次为，且 所以与直线的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线要么过的最高点或最低点，要么是 即：或（矛盾）或 或 当时，函数的         直线和相交，且，周期为3（矛盾） 当时，函数      直线和相交，且，周期为6（满足） 综上：.