广东省梅州市兴林中学高一数学理测试题含解析

广东省梅州市兴林中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设a=（），b=（），c=（），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 参考答案： D 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【分析】利用幂函数y=x，单调递增，指数函数y=（）x，单调递减，即可得出结论． 【解答】解：考查幂函数y=x，单调递增，∵，∴a＞b， 考查指数函数y=（）x，单调递减，∵，∴c＞a， 故选D． 【点评】本题考查幂函数、指数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础． 　 2. 已知圆锥的底面直径与高都是 4，则该圆锥的侧面积为（    ） A. B. C. D. 8 参考答案： C 【分析】 根据题意求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积． 详解】如图所示， 圆锥的底面直径2r＝4，r＝2，高h＝4， 则母线长为， 所以该圆锥的侧面积为πrl＝π?2?2＝4π． 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的结构特征与圆锥侧面积计算问题，是基础题． 3. 函数y=x2+1的值域是（　　） A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 参考答案： B 【考点】函数的值域． 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：函数y=x2+1的定义域为R， 开口向上，对称轴x=0， 当x=0时，函数y取得最小值为1． ∴函数y=x2+1的值域[1，+∞）． 故选B 4. 某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 根据三视图可将其还原为如下直观图， ，答案选C． 5. 已知函数（其中）的图象如下面左图所示，则函数的图象是（   ） A            B             C             D 参考答案： A 略 6. 若数列的通项公式为，则此数列（    ） A．是公差为2的等差数列          B．是公差为3的等差数列    C．是公差为5的等差数列          D．不是等差数列  参考答案： A 略 7. 在中，分别为角的对边，若，则的形状（      ） A. 直角三角形    B. 等腰三角形   C. 等边三角形   D. 等腰直角三角形 参考答案： B 略 8. 函数的定义域是（    ） A．　　B．  C．   D． 参考答案： D 略 9. 已知函数，则函数的定义域为 （    ） A．(－1,1] B．(－1,1) C．[－1,1) D．[－1,1] 参考答案： A 10. 过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（    ） A．          B．          C．          D． 参考答案： C 试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，要使最小，则点到加以的距离最大即可，由图象知，当点点时，最小，此时，，则，即，所以，故选C． 考点：1、简单的线性规划问题；2、二倍角公式． 【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 单位圆中一条弦AB的长度为则该弦AB所对的圆心角是           （弧度数） 参考答案：   12. 设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b=　　　　. 参考答案： 4 13. 扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是________. 参考答案： 2 14. 某公司当月购进A、B、C三种产品，数量分别为2000、3000、5000，现用分层抽样的方法从A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有20件，则n的值为_______． 参考答案： 100. 【分析】 利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值. 【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有， 解得，故答案为：. 【点睛】本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题. 15. 计算：          ． 参考答案： ，故答案为.   16. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值，其中=         . 参考答案： 14 略 17. 数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝3Sn (n∈N*)，则a4＝________。 参考答案： 48        三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）?f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明； （3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 【专题】综合题． 【分析】（1）利用赋值法，令y=﹣1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性； （2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性； （3）先利用赋值法求得f（3）=，再利用函数的单调性解不等式即可 【解答】解：（1）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）?f（﹣1）， ∵f（﹣1）=1，∴f（﹣x）=f（x），且x∈R ∴f（x）为偶函数． （2）若x≥0，则f（x）==?=[]2≥0． 若存在x0＞0，使得f（x0）=0，则，与已知矛盾， ∴当x＞0时，f（x）＞0 设0≤x1＜x2，则0≤＜1， ∴f（x1）==?f（x2）， ∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1． ∴0≤＜1， 又∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x2）＞0 ∴f（x1）＜f（x2）， 故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数． （3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）?f（9）=f（3）?f（3）?f（3）=[f（3）]3， ∴9=[f（3）]3， ∴f（3）=， ∵f（a+1）≤， ∴f（a+1）≤f（3）， ∵a≥0， ∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞）， ∵函数在[0，+∞）上是增函数． ∴a+1≤3，即a≤2， 又a≥0， 故0≤a≤2． 【点评】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法 19. (本题12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计日需求量的众数； （2）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为件()，纯利润为元． （ⅰ）将表示为的函数； （ⅱ）根据直方图估计当天纯利润不少于元的概率． 参考答案： （1）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017++0.030）×10=1，∴ ∵∴估计日需求量的众数为125件. （2）（ⅰ）当时， 当时， ∴. （ⅱ）若 由得,∵，∴. ∴由直方图可知当时的频率是， ∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7. 20. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出． （II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得：＞0， 代入可得（bk）2=2ak?ck， ∴b2=2ac， ∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB===． （II）由（I）可得：b2=2ac， ∵B=90°，且a=， ∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=． ∴S△ABC==1． 21. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60,75),2; [75,90),3; [90,105),14; [105,120),15; [120,135),12; [135,150),4; 样本频率分布表： 分组 频数 频率 [60,75) 2 0.04 [75,90) 3 0.06 [90,105) 14 0.28 [105,120) 15 0.30 [120,135) A B [135,150) 4 0.08 合计 C D （1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值； （2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例； （3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在 [135,150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60,75)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.   参考答案： 解：（1）由样本频率分布表，得： （2）估计成绩在以上120分（含120分）的学生比例为： （3）成绩在内有2人，记为甲、 成绩在内有4人，记为乙，. 则“二帮一”小组有以下12种分钟办法： 其中甲、乙两同学被分在同一小组有种办法：甲乙，甲乙，甲乙， ∴甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为：   22. 已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R （1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值； （2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （3）若a＜0，解不等式f（x）＞1． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题． 【分析】（1）由=，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得不等式组，解出即可； （3）问题者解不等式（x﹣1）（ax+a+1）＞0，通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集． 【解答】解：（1）由题意a＜0，且=，解得：a=﹣2或a=﹣； （2）由f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a，得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0， 若a=﹣2，不等式4x﹣3＞0不对一切实数x恒成立，舍去， 若a≠﹣2，由题意得，解得：a＞2， 故a的范围是：（2，+∞）； （3）不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0， ∵a＜0，∴（x﹣1）（x+）＜0， ∵1﹣（﹣）=， ∴﹣＜a＜0时，1＜﹣，解集为：{x|1＜x＜﹣}， a=﹣时，（x﹣1）2＜0，解集为?， a＜﹣时，1＞﹣，解集为{x|﹣＜x＜1}．