浙江省宁波市春晓中学高一数学理联考试题含解析

浙江省宁波市春晓中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则不等式的解集为（     ） A．(－∞, －3]        B．[－3,+∞)       C.         D． 参考答案： C 设 ，则不等式 等价为 ，作出的图象，如图，由图象可知 时， ，即 时， ，若 ，由 得 ，解得 ，若 ，由 ，得 ，解得 ，综上 ，即不等式的解集为 ，故选C.   2. 等差数列,的前项和分别为,,若,则使为整数的正整数n的取值个数是（    ）m A  3         B  4        C   5     D   6 参考答案： Ｃ 略 3. 如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是（   ） A．      B．       C．       D． 参考答案： C 由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选C.   4. 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 (A) y=sin         (B) y=sin (C) y=cos        (D) y=cos 参考答案： D 设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=， 所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位， 即=，选D.   5. 若幂函数的图像过点，则的值为（  ） A．1         B．－3       C．±3        D．3 参考答案： D 6. 直线过点（－１，２）且与直线垂直，则直线的方程为（　　） Ａ．　　　　　Ｂ． Ｃ．　　　　　Ｄ． 参考答案： A 7. 函数y=log2（x+2）的定义域是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，+∞） 参考答案： C 【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求出解集即可． 【解答】解：函数y=log2（x+2）， ∴x+2＞0， 解得x＞﹣2， ∴函数y的定义域是（﹣2，+∞）． 故选：C． 8. 无论值如何变化，函数（）恒过定点 A          B         C        D    参考答案： C 9. 在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是 A.矩形         B.邻边不相等的平行四边形         C.菱形         D.梯形 参考答案： D 因为，， 所以， 所以AD//BC,ADBC 因此四边形为梯形，   10. 函数f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数，则a的值为（　　） A．1 B．3 C．2 D．1或3 参考答案： C 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【分析】根据指数函数的定义得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：a=2， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 平面四边形ABCD 中,,则AD=_______. 参考答案： 【分析】 先求出，再求出，再利用余弦定理求出AD得解. 【详解】依题意得中，，故． 在中，由正弦定理可知，， 得． 在中，因为， 故． 则． 在中，由余弦定理可知，， 即． 得． 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 12. lg+2lg2﹣（）﹣1=          ． 参考答案： ﹣1 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值． 【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1． 13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，其中． ①______； ②若f(x)的值域是R，则a的取值范围是______． 参考答案： －1； 【分析】 ①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值； ②由的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与轴有交点，得到，解不等式即可得到所求范围． 【详解】①由题意得： 为上的奇函数        ②若的值域为且图象关于原点对称 当时，与轴有交点    解得：或    的取值范围为 故答案为； 【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题． 14. 正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于       ． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】空间角． 【分析】根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论． 【解答】解：连结AC，BD相交于O， 则O为AC的中点， ∵E是PC的中点， ∴OE是△PAC的中位线， 则OE∥， 则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角， 设四棱锥的棱长为1， 则OE==，OB=，BE=， 则cos==， 故答案为： 【点评】本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题 15. =      .  参考答案： 略 16. 设函数的定义域是, 则实数的范围为________         参考答案： 17. 二次函数满足且．则函数的零点是             ； 参考答案： 2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）已知函数 和 （为常数），且对任意，都有恒成立． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设函数满足对任意，都有，且当时，． 若存在，使得成立，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）取，由， 此时，， ，∴，故； （Ⅱ）由题设为偶函数，当时，，值域是； 当时，，，其值域是， ∴ 当时，的值域是， 又当时，的值域是， 若存在，使得成立，则． 19. 已知函数． （1）判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值． 参考答案： （1）证明见解析；（2）最大值为；小值为 【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性； （2）由函数的单调性即可得函数最值. 试题解析： （1）解：在区间上是增函数. 证明如下： 任取，且， . ∵， ∴，即. ∴函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数， 故函数在区间上的最大值为， 最小值为. 点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较； （4）下结论. 20. 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第1组 [18，28） 5 0.5 第2组 [28，38） 18 a 第3组 [38，48） 27 0.9 第4组 [48，58） x 0.36 第5组 [58，68） 3 0.2     （1）分别求出a，x的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？ （3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 参考答案： （1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，… 第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，… 第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，… （2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．… （3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．… 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1）， （a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．  … ∴P（A）=． … 答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为． 21. 已知函数. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值. 参考答案： （Ⅰ）的递调递增区间为，；单调递减区间为，.（Ⅱ）最小值和最大值分别为-1，. 【分析】 （Ⅰ）根据余弦函数的单调区间为；和，即可求出的单调区间（Ⅱ）当时，，利用余弦函数的图象和性质可求出函数的最大值和最小值. 【详解】（Ⅰ）令，，得，， 令，，得，， 故函数的递调递增区间为，；单调递减区间为，. （Ⅱ）当时，， ∴当，即时，取得最大值，， 当，即时，取得最小值，， ∴函数在区间上的最小值和最大值分别为-1，. 22. （10分）解不等式：-3＜4x-4x2≤0 参考答案： 略