2022-2023学年河南省南阳市王村中学高一数学理联考试卷含解析

2022-2023学年河南省南阳市王村中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（　　） A．80 B．70 C．60 D．50 参考答案： A 【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可． 【解答】解：因为，所以n=80． 故选A． 2. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，?UN={1，2，4}，则M∩N等于（　　） A．{0，3} B．{0，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】由全集U及N的补集确定出N，找出M与N的交集即可． 【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，?UN={1，2，4}， ∴N={0，3}， 则M∩N={0，3}， 故选：A． 3. 如上右图是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是(      )． A． i≤10       B．i>10         C．i<20         D．i>20 参考答案： A 4. 已知集合，则下列式子表示正确的有（   ）      ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 略 5. 设，若3是与的等比中项，则的最小值为（   ）. A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值. 【详解】解：3是与等比中项，， ， =， 故选C. 【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.   6. 已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是－3，则此直线方程是（　　）． A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：由已知直接写出直线方程的斜截式得答案． 解：∵直线的斜率为2，在y轴上的截距是﹣3， ∴由直线方程的斜截式得直线方程为y=2x﹣3， 即2x﹣y﹣3=0． 故选：A． 考点：直线的斜截式方程． 7. 等差数列{ a n }中有两项a m和a k，满足a m =、a k =，则该数列前m k项之和是（    ） （A）– 1          （B）            （C）            （D）+ 1 参考答案： C 8. 设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（?UB）=(     ) A．{4，5} B．{2，3} C．{1} D．{2} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合． 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3}， ∴?UB={1，4，5，6}， 则A∩（?UB）={1}， 故选：C． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 9. 若集合，且，则实数的集合（    ） A．     B．        C．     D． 参考答案： C 10. 已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】利用圆锥的表面积公式即可求出圆锥的底面半径． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴2πr=πl， ∴l=2r， ∵圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=6， ∴r2=， 即r=， 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若(，)是f（x）的一个单调递增区间，则φ的取值范围为　    　． 参考答案： [，]   【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】令2kπ+≤2x+φ≤2kπ+，k∈z，求得 kπ+﹣≤x≤kπ+﹣．再由≤kπ+﹣，且≥kπ+﹣，结合|φ|＜π 求得φ的取值范围． 【解答】解：由题意可得，是函数y=2sin（2x+φ）的一个单调递减区间，令2kπ+≤2x+φ≤2kπ+，k∈z， 求得 kπ+﹣≤x≤kπ+﹣，故有≤kπ+﹣，且≥kπ+﹣，结合|φ|＜π 求得≤φ≤， 故φ的取值范围为[，]， 故答案为[，]． 12. 若是一次函数，且，则=                   . 参考答案：   略 13. 若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （0，4]∪[16，+∞） 【考点】函数单调性的性质． 【分析】化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想． 【解答】解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）， ∴f（x）=， 当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数， 当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数 又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增， ∴≤2或，又a＞0， ∴0＜a≤4或a≥16． 故答案为：（0，4]∪[16，+∞）． 【点评】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题． 14. 函数y=log2（x2﹣4）的定义域为　　． 参考答案： （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由对数式的真数大于0，求解一元二次不等式得答案． 【解答】解：由x2﹣4＞0，得x＜﹣2或x＞2． ∴函数y=log2（x2﹣4）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 15. 为的三内角，且其对边分别为a、b、c，若， ，且．角__________. 参考答案： 16. 已知幂函数的图象过点，则__________． 参考答案： 设幂函数为，由于图象过点，得，∴， ∴． 17. 已知，则的值是                     （   ） A．－1          B．1           C．2           D．4 参考答案： C 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知． （Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求的值． 参考答案： 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】（Ⅰ）利用和角的正切公式，化简可求tanα的值； （Ⅱ）利用二倍角公式，再弦化切，即可求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）因为=，所以； （Ⅱ）===． 19. 已知向量与向量的夹角为，且，. （1）求; （2）若，求. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出； （2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值. 【详解】解：（1）由得， 那么； 解得或（舍去） ∴； （2）由得， 那么 因此 ∴. 【点睛】本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质. 20. 已知函数定义在上. 且可以表示为一个偶函数 与一个奇函数之和. （1）求与与的解析式； （2）设， ，求出的解析式； （3）若对于恒成立，求的取值范围. 参考答案： 解：（1）假设 ①，其中为偶函数，为奇函数， 则有，即 ②， 由①②解得，. ∵定义在上，∴，都定义在上. ∵，. ∴是偶函数，是奇函数，∵， ∴，   .  …………5分 （2）由，则， 平方得， ∴， ∴.     …………10分      （3）对于恒成立， 即对于恒成立，则 ，解得 .     . …………14分 略 21. 已知数列{an}为等差数列，a3=3，a7=7，数列{bn}的首项b1=4，前n项和Sn满足对任意m，n∈N+，SmSn=2Sm+n恒成立． （1）求{an}、{bn}的通项公式； （2）若cn=anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求{an}的通项公式；再由S1Sn=2S1+n，即2Sn=S1+n，即有2Sn﹣1=Sn，相减再由等比数列的通项公式即可得到所求； （2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由a3=3，a7=7，可得a1+2d=3，a1+6d=7， 解得a1=d=1， 即有an=1+n﹣1=n； 令m=1，可得S1Sn=2S1+n，即2Sn=S1+n， 即有2Sn﹣1=Sn， 两式相减可得2bn=bn+1， 即有bn=b22n﹣2， 由2b1=2S1=S2=b1+b2， 解得b2=4，则bn=2n，n＞1． 则bn=； （2）cn=anbn=， 即有前n项和为Tn=4+2?4+3?8+4?16+…+n?2n， 2Tn=8+2?8+3?16+4?32+…+n?2n+1， 两式相减可得，﹣Tn=4+8+16+…+2n﹣n?2n+1， =﹣n?2n+1， 化简可得Tn=4+（n﹣1）?2n+1． 22. 已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R． （1）求证：函数f（x）的图象与x轴有交点； （2）当a＞0时，求函数y=的定义域； （3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）利用分类讨论思想证明函数与x轴的交点． （2）进一步利用分类讨论思想求函数的定义域． （3）根据方程有四个交点确定最后解不等式组求的结果． 【解答】证明：（1）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R． ①当a=0时，f（x）=﹣x+1， 则与x轴的交点坐标为：（1，0）； ②当a＞0时，函数f（x）为开口方向向上的抛物线， 则：△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≥0； ③当a＜0时，函数f（x）为开口方向向下的抛物线， 则：△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≥0； 综上所述：函数f（x）的图象与x轴有交点； 解：（2）当a＞0时， ①当a=1时， =， 所以x∈R； ②当0＜a＜1时， =， 则x的定义域为：{x|x或x＜1}； ③当a＞1时， =， 则x的定义域为：{x|x＞1或x}； 解：（3）令t=， 则：关于x的方程f（|x|）=t有四个不等的实数根． 即：a|x|2+（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不等的实数根． 即：ax2+（a+1）x+1﹣t=0有两个正根． 则：， 解得：a＜﹣1． 【点评】本题考查的知识要点：函数的分类讨论的应用，函数的定义域，及函数的根的情况．属于中等题型．