湖北省黄冈市长江中学2022年高三数学理月考试卷含解析

湖北省黄冈市长江中学2022年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在的二项展开式中，的系数为（     ） (A)  10    　(B)  -10   (C)  40   (D)  -40 参考答案： D 2. 若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为        (    ） A．0             B．           C．1              D． 参考答案： D 由题意,简单的考查指数函数及指数运算以及三角函数,是简单题. 3. 参数方程（θ为参数）和极坐标方程ρ=﹣6cosθ所表示的图形分别是（　　） A．圆和直线 B．直线和直线 C．椭圆和直线 D．椭圆和圆 参考答案： D 【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】计算题；坐标系和参数方程． 【分析】将极坐标方程、参数方程化为普通方程，再去判断即可． 【解答】解：极坐标ρ=﹣6cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2=﹣6ρcosθ， 化为普通方程为x2+y2=﹣6x，即（x+3）2+y2=9． 表示以C（﹣3，0）为圆心，半径为3的圆． 参数方程（θ为参数），利用同角三角函数关系消去θ， 化为普通方程为，表示椭圆． 故选D． 【点评】本题考查了极坐标方程、普通方程以及转化，曲线的普通方程．属于基础题． 4. 已知x,y满足条件（k为常数），若目标函数的最大值为8，则k=(    ) A． B．       C．       D．   6 参考答案： B 5. 椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S． 【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|， ∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大． 由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4． c==1． 把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±． ∴此时△FMN的面积S==． 故选：C． 6. 已知函数f（x）=，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2 参考答案： A 【考点】特称命题． 【分析】若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可 【解答】解：若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调 ①当a=0时，f（x）=，其图象如图所示，满足题意   ②当a＜0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＜0，其图象如图所示，满足题意   ③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＞0，其图象如图所示， 要使得f（x）在R上不单调 则只要二次函数的对称轴x= ∴a＜2 综上可得，a＜2   故选A 7. 若函数在区间(－1，0)上恒有的单调递增区间是（    ） A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)    D．(－1，＋∞) 参考答案： C 略 8. 双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 双曲线C与抛物线的准线交于A,B两点，若AB=4，则双曲线C的实轴长为（） A.       B. 2      C.       D. 4 参考答案： C 此乃等轴双曲线 抛物线准线方程x=-1，因此交点为 代入坐标解得2a=2 9. 若则过可以做两条直线与圆相切的概率为  A.             B.               C.             D. 参考答案： B 10. 下列函数中，与函数 有相同定义域的是（     ） A .     B．      C．        D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，， 若四面体P - ABC的体积为，则该球的表面积为_________． 参考答案： 12. （不等式选讲选做题）若恒成立，则m的取值范围为     。 参考答案： B  (－∞，2] 13. 平行四边形ABCD中，，则λ+μ=__________． 参考答案： 1 在平行四边形中，，且，则，所以；故填1. 14. 在△ABC中，已知，则角A的值为     参考答案： 15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆＝4cos的圆心到直线的距离是＿＿＿＿ 参考答案： 1 16. 下列命题:① 设，是非零实数，若＜,则;② 若,则;   ③ 函数的最小值是2；④若, 是正数，且，则有最小值16．     其中正确命题的序号是     参考答案： ②  ④ 略 17. 已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=　　． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用数量积的性质即可得出． 解答： 解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=． ∴=， 化为=10， 化为， ∵， 解得||=． 故答案为：． 点评： 本题考查了数量积的性质，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列． （1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式； （2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项： 第1次从数列{an}中取a1， 第2次从数列{bn}中取b1，b2， 第3次从数列{an}中取a2，a3，a4， 第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6， … 第2n﹣1次从数列{an}中继续依次取2n﹣1个项， 第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项， … 由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn，求满足Sn＜22014的最大正整数n． 参考答案： 【考点】数列的应用；等比数列的性质． 【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{an}与{bn}的通项公式； （2）分析数列{cn}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{an}，有2n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2+n项选取于数列{bn}，它们的总和Pn=+﹣2；求出符合不等式Sn＜22014的最大n值即可． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 依题意，得； 解得a1=d=1，b1=q=2； 故an=n，bn=2n； （2）将a1，b1，b2记为第1组， a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组， a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…； 以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{an}，有2n项选取于数列{bn}， 前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2+n项选取于数列{bn}， 记它们的总和为Pn，并且有Pn=+﹣2； 则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0， P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0； 当Sn=+（2+22+…+22012）时， Sn﹣22014=﹣22013﹣2+＜0； 当Sn=+（2+22+…+22013）时， Sn﹣22014=﹣2+＞0； 可得到符合Sn＜22014的最大的n=452+2012=4037． 【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目． 19. (本小题14分)已知向量a＝(，)，b＝(2，cos2x)． (1)若x∈(0，]，试判断a与b能否平行？ (2)若x∈(0，]，求函数f(x)＝a·b的最小值． 参考答案： 20. （本小题满分13分） 已知公差不为零的等差数列的前3项和,且、、成等比数列． （１）求数列的通项公式及前n项的和； （2）设的前n项和，证明：； （3）对（2）问中的，若对一切恒成立，求实数的最小值． 参考答案： （１）　　　……………………４分 (2)，…………………６分， 易知，，故………9分 （3），得则易知 ………13分 21. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C： （1）判断曲线C的形状? 并写出曲线C与y轴交点的极坐标. (2) 若曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围． 参考答案： 解:（1）把曲线方程 化为普通方程得,可知曲线C是以(0,-1)为圆心,半径为1的圆.                                             …… 2分 它与y轴的交点为（0，0）、（0，－2）化为                              …… 4分 极坐标为(0,0)、（2，）；                                            …… 6分 （2）解　∵， ∴x2＋(y＋1)2＝1. 由圆与直线有公共点，得d＝≤1，                     …… 9分 解得1－≤a≤1＋.                                       …… 11分 所以实数a的取值范围为                            略 22. 已知矩阵，． （1）求矩阵的逆矩阵； （2）求满足的二阶矩阵． 参考答案： （1），，                   矩阵的逆矩阵                （2），                                   ．