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2022-2023学年湖南省永州市荒塘乡民族中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中,则最短边的边长为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称,则直线l的方程为 ( ).
A.x+y=0 B.x-y=0
C.x-y+1=0 D.x+y-6=0
参考答案:
C
3. 若Sn=sin +sin +…+sin (n∈N*),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是( )
A.16 B.72 C.86 D.100
参考答案:
C
4. 已知,,,则实数的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B,则以AB为直径的圆的方程是( )
A.x2+y2+4x﹣3y=0 B.x2+y2﹣4x﹣3y=0
C.x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D.x2+y2﹣4x﹣3y+8=0
参考答案:
A
【考点】圆的标准方程.
【分析】先求出A、B两点坐标,AB为直径的圆的圆心是AB的中点,半径是AB的一半,由此可得到圆的方程.
【解答】解:由x=0得y=3,由y=0得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,3),
∴以AB为直径的圆的圆心是(﹣2,),半径r=,
以AB为直径的圆的方程是,
即x2+y2+4x﹣3y=0.
故选A.
6. 已知函数,若,则取值范围是().
A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-3,0] D.[-3,1]
参考答案:
C
当时,根据恒成立,则此时,
当时,根据的取值为,,
当时,不等式恒成立,
当时,有,即.
综上可得,的取值范围是.
故选.
7. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为( )
A. km B. km C. km D. km
参考答案:
B
【分析】
作出示意图,在△ABC中,可由正弦定理求的长.
【详解】作出示意图如图所示,,
,,则.
由正弦定理,可得,则.
所以这时船与灯塔的距离为.
【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用,考查正弦定理.解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角.
8. 已知函数,则 ( )
A. B.
C. D.符号不确定
参考答案:
C
略
9. 函数的零点是和,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
先由韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到结果.
【详解】因为的零点是和,所以,是方程的两个根,根据韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到:.
故选B.
【点睛】本题考查了二次方程的根,以及韦达定理的应用,涉及正切函数的两角和的公式的应用,属于基础题.
10. △ABC外接圆半径为R,且2R(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB,则角C=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
A
【考点】HR:余弦定理.
【分析】先根据正弦定理把2R(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB中的角转换成边可得a,b和c的关系式,再代入余弦定理求得cosC的值,进而可得C的值.
【解答】解:△ABC中,由2R(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB,
根据正弦定理得a2﹣c2=(a﹣b)b=ab﹣b2,
∴cosC==,
∴角C的大小为30°,
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在R上的最大值为 .
参考答案:
1
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】当x≠0时,═令,t∈R,原函数化为g(t)=,可得原函数的最大值..
【解答】解:1)当x=0时,f(x)=0;
2)当x≠0时,═,
令,t∈R,原函数化为g(t)=,又因为t+或为t+,原函数的最大值为1.
故答案:1.
12. 函数的定义域为 ** ;
参考答案:
13. 奇函数的定义域为,若在上单调递减,且,则实数的取值范围是___________.
参考答案:
14. 若方程有两解,则的取值范围是 。
参考答案:
(0,1)
15. 给出下列六个命题:
①函数f(x)=lnx-2+x在区间(1 , e)上存在零点;
②若,则函数y=f(x)在x=x0处取得极值;
③若m≥-1,则函数的值域为R;
④“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。
⑤函数y=(1+x)的图像与函数y=f(l-x)的图像关于y轴对称;⑥满足条件AC=,AB =1的三角形△ABC有两个.
其中正确命题的个数是 。
参考答案:
①③④⑤
16. (3分)命题“若x≠3且x≠4,则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是若 .
参考答案:
x2﹣7x+12=0,则x=3或x=4
考点: 四种命题.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可.
解答: 逆否命题是:若x2﹣7x+12=0,则 x=3或x=4;
故答案为:若x2﹣7x+12=0,则 x=3或x=4.
点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题.
17. 如图,边长为l的菱形ABCD中,∠DAB=60°,,则= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图坐标系,可得A、B、C、D各点的坐标,结合题中数据和等式,可得向量、的坐标,最后用向量数量积的坐标公式,可算出的值.
【解答】解:以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图坐标系
∵菱形ABCD边长为1,∠DAB=60°,
∴D(cos60°,sin60°),即D(,),C(,)
∵,∴M为CD的中点,得=(+)=(2+)=(1,)
又∵,∴=+=(,)
∴=1×+×=
故答案为:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,内角的对边分别为.已知.
求的值;若,的周长为5,求的长.
参考答案:
解(1)由正弦定理得所以=,
即,即有,即,所以=2.
(2)由(1)知=2,所以有,即,又因为的周长为5,所以=5-3,
由余弦定理得:,即,
解得=1,所以=2.
略
19. (12分)函数f(x)=2sinxcosx+m(sinx+cosx)﹣2,
(1)当m=1时,求f(x)的值域;
(2)若对于任意的x∈R,f(x)<0恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
考点: 三角函数的最值;函数的值域.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)首先,设sinx+cosx=t,得到t=sin(x+),从而有t∈.然后,结合二次函数的图象求解;
(2)首先,根据(1)的得到y=t2﹣1+mt﹣2,从而转化成t2+mt﹣3<0,t∈.从而有,即可求解其范围.
解答: (1)∵m=1,
∴f(x)=2sinxcosx+sinx+cosx﹣2,
设sinx+cosx=t,
∴t=sin(x+),
∴t∈.
2sinxcosx=t2﹣1,
∴y=t2﹣1+t﹣2
=(t+)2﹣,
∵t∈.
∴y∈.
∴f(x)的值域;
(2)根据(1),得
设sinx+cosx=t,
∴t=sin(x+),
∴t∈.
2sinxcosx=t2﹣1,
∴y=t2﹣1+mt﹣2
∴t2+mt﹣3<0,t∈.
∴,
解得m∈(﹣,).
点评: 本题重点考查了三角恒等变换公式、辅助角公式等知识,属于中档题.
20. 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求三棱锥E﹣FCB1的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】(1)由已知在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点,可得B1C⊥AB,B1C⊥BC1,进一步得到B1C⊥平面ABC1D1,进而B1C⊥BD1,再由中位线定理即可得到EF⊥B1C;
(2)由题意,可先证明出CF⊥平面BDD1B1,由此得出三棱锥的高,再求出底面△B1EF的面积,然后由等积法把三棱锥E﹣FCB1的体积转化为C﹣B1EF的体积求解.
【解答】(1)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,
∴B1C⊥AB,B1C⊥BC1,又AB∩BC1=B
∴B1C⊥平面ABC1D1,
∴B1C⊥BD1,
又∵E、F分别为DD1、DB的中点,∴EF∥BD1,
∴EF⊥B1C;
(2)∵CF⊥平面BDD1B1,
∴CF⊥平面EFB1,
由已知得CF=BF=,
∵EF=BD1,, =,
∴,即∠EFB1=90°,
∴=?=.
21. 已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,数列{bn}满足b1=1,b3+b7=18,且bn-1+bn+1=2bn(n≥2)
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)由题意知Sn=2-an,①当n≥2时,Sn-1=2-an-1②
①-②得an=Sn-Sn-1=an-1-an,即an=an-1
又a1=s1=2-a1,∴a1=1
故数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列,所以an= 3分
由bn-1+bn+1=2bn(n≥2)知,数列{bn}是等差数列,设其公差为d,则b5=(b3+b7)=9,
故d==2,bn=b1+(n-1)d=2n-1 6分
综上,数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=,bn=2n-1 7分
(2)∵cn==(2n-1)·2n-1
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1③
2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1) ×2n④
③-④得-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n 11分
即-Tn=1+2(2n-2)-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3
∴Tn=(2n-3)·2n+3 14分
22. 某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试.这25位学生的考分编成的茎叶图如图,其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(用x来表示),但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同.
甲班
茎
乙班
12
3 6 8
13
0 3
7 4 3
14
1
4 4 2
15
X 8
9 8 7 0
16
1 3
8
17
5 6
6
18
3
(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值;
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