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浙江省舟山市干览中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将边长为2的正△ABC沿高AD折成直二面角B-AD-C,则三棱锥B-ACD的外接球的表面积是
A.20π B.10π C. π D.5π
参考答案:
D
根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直,
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,
所以求出长方体的对角线的长为: ,
所以球的直径是 ,半径为,
所以球的表面积为:4πr2=5π,
故选D.
2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,是以PF1为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
试题分析:设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围,再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率,最后依据c的范围即可求出的取值范围;
设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知,且,,
,故选A.
考点:椭圆与双曲线离心率问题.
3. 在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第1次使用口令,那么第5次也使用口令的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知抛物线:,O是坐标原点,点P是抛物线C在第一象限内的一点,若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半,则直线OP的斜率为( )
A. B. C. 2 D. 3
参考答案:
C
【分析】
设出点P的坐标,根据抛物线定义及题设条件,可用p表示点P的坐标,进而求得的斜率。
【详解】设点为,则由抛物线的定义知点到抛物线的焦点的距离为,
同时由题知这个距离也等于,
所以,
解得,,
于是,
故选C.
【点睛】本题考查了抛物线的定义及应用,属于基础题。
5. 函数的最小正周期为,且.当时,那么在区间上,函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知直线(不全为),两点,,若,且,则直线( )
A.与直线不相交 B.与线段的延长线相交
C.与线段的延长线相交 D.与线段相交
参考答案:
B
略
7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是( )
A.B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥,由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系,由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积,即可得几何体的各面中面积最大的面的面积.
【解答】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱锥P﹣ABC,
直观图如图所示:由图得,PA⊥平面ABC,
,,,,
则,
在△PBC中,,
由余弦定理得:,
则,所以,
所以三棱锥中,面积最大的面是△PAC,其面积为,
故选B.
8. 偶函数f(x)满足f(x﹣1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=,在x∈[0,4]上解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】函数的周期性;奇偶函数图象的对称性.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据已知条件推导函数f(x)的周期,再利用函数与方程思想把问题转化,画出函数的图象,即可求解.
【解答】解:∵f(x﹣1)=f(x+1)∴f(x)=f(x+2),
∴原函数的周期T=2.
又∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x).
又∵x∈[0,1]时,f(x)=x,函数的周期为2,
∴原函数的对称轴是x=1,且f(﹣x)=f(x+2).
设 y1=f(x),y2=,
方程f(x)= 根的个数,
即为函数y1=f(x)的图象(蓝色部分)与
y2=的图象(红色部分)交点的个数.
由以上条件,可画出y1=f(x),y2=的图象:
又因为当x=1时,y1>y2,∴在(0,1)内有一个交点.
∴结合图象可知,在[0,4]上y1=f(x),y2=共有4个交点.
∴在[0,4]上,原方程有4个根.
故选D.
【点评】本题考查函数的性质,体现了函数与方程思想,数形结合思想,转化思想,属于基础题.
9. 已知集合M={1,2,3},N={2,3},则( )
A.M=N B.M∩N=? C.M?N D.N?M
参考答案:
D
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;集合思想;综合法;集合.
【分析】利用子集的定义,即可得出结论.
【解答】解:∵集合M={1,2,3},N={2,3},
∴N?M,
故选:D.
【点评】本题主要考查集合关系的应用,正确理解子集的含义是关键.
10. 执行如图所示的程序框图,则输出的k值为
A.7 B.9 C.11 D.13
参考答案:
C
循环1,;循环2,;循环3,;循环4,
;循环5,. 选C.
若能发现规律,运用归纳推理,则不必写出所有循环结果,也可得解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,实数m,n满足,且,若在区间上的最大值是2,则的值为______.
参考答案:
16
【分析】
利用函数的单调性可得||=2,或=2,分别检验两种情况下的最大值是否为2,可得结论.
【详解】由题意得﹣=,∴n,且,
又函数在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴||=2,或=2.
∴当||=2时,m,又n,∴n=e,此时,f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,满足条件.
当=2时,n=,m,此时,f(x)在区间[m2,n]上最大值为||=4,不满足条件.
综上,n=e,m.,
故答案为.
【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
12. 已知函数,则
参考答案:
1007
13. 已知方程在区间内恰有两个实根,则的取值范围是 .
参考答案:
14. 定义在上的奇函数,满足,则_________。
参考答案:
0
15. 等比数列中,,则=
参考答案:
略
16. 若x,y满足约束条件则的最大值为________.
参考答案:
5
【分析】
首先画出平面区域,利用z的几何意义求最大值.
【详解】x,y满足平面区域如图:
z=x+y代表直线y=-x+z,其中z为直线的截距,
当直线y=﹣x+z经过A(3,2)时,z最大,
所以z的最大值为5;
故答案为5.
【点睛】本题考查了简单线性规划问题,正确画出平面区域及利用目标函数的几何意义求最值是关键.
17. 设F为抛物线y2 =4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若,则 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 移动支付(支付宝支付,微信支付等)开创了新的支付方式,使电子货币开始普及,为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关,对某地200人进行了问卷调查,得到数据如下:60岁以上的人群中,习惯使用移动支付的人数为30人;60岁及以下的人群中,不习惯使用移动支付的人数为40人。已知在全部200人中,随机抽取一人,抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6。
(1)完成如下的列联表,并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关,并说明理由。
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付
合计(人数)
60岁以上
60岁及以下
合计(人数)
200
(2)在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中,每月移动支付的金额如下表:
每月支付金额
[100,1000]
(1000,2000]
(2000,3000]
3000以上
人数
10
20
x
30
现采用分层抽样的方法从中抽取9人,再从这9人中随机抽取4人,记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y,求Y的分布列及数学期望。
附:,其中n=a+b+c+d。
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案:
19. 设数列{an}满足a1=2,a2+a5=14,且对任意n∈N*,函数f(x)=an+1x2﹣(an+2+an)x满足f′(1)=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,记数列{bn}的前n项和为Sn,求证Sn<.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)求出函数的导数,由条件可得2an+1=an+2+an,由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列,设公差为d,运用等差数列的通项公式,可得d=2,即可得到通项公式;
(2)由bn==(﹣),运用裂项相消求和,由不等式的性质,即可得证.
【解答】(1)解:函数f(x)=an+1x2﹣(an+2+an)x的导数为f′(x)=2an+1x﹣(an+2+an),
由f′(1)=0,可得2an+1=an+2+an,
由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列,设公差为d,
则a1=2,a2+a5=2a1+5d=14,
解得d=2,
即有an=a1+2(n﹣1)=2n.
(2)证明:bn===(﹣),
则Sn=(1﹣+﹣+…+﹣)
=(1﹣)<.
则Sn<.
20. (本小题满分13分)已知
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来 的,把所得到的图象再向右平移单位,得到函数的图象,求函数在区间[0,]上的最大值.
参考答案:
解:(1)
…………………3分
函数的最小正周期为.………………………4分
又由
得的单调递增区间为…ks5u……6分
(2)根据条件得,…………9分
当时,,………11分
所以当时,.……………………………………13分
略
21. 已知是正实数,设函数.
(1)设,求的单调递减区间;
(2)若存在使成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)
由得,, 的单调递减区间为,
(2)由得
(i)当,即时,
由得,
(ii)当时, 单调递增.
(iii)当,即时, 单调递减.
当时恒成立.
综上所述,
略
22. (本小题满分15分)如图,在四棱锥中,,平面,,,.
求证:平面平面;
若点在棱上的射影为点,求二面角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:因为平面,所以, …………………………2分
又因为,所以平面, ………………………4分
所以平面平面. …………………………5分
(Ⅱ)
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