浙江省舟山市干览中学高三数学理月考试卷含解析

浙江省舟山市干览中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将边长为2的正△ABC沿高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积是 A．20π         B．10π       C. π        D．5π 参考答案： D 根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直， 所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 所以求出长方体的对角线的长为： ， 所以球的直径是 ，半径为， 所以球的表面积为：4πr2=5π， 故选D．   2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以PF1为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围; 设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知，且,， ，故选A． 考点：椭圆与双曲线离心率问题． 3. 在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用口令,那么第5次也使用口令的概率是(     ) A.         B.     　　 C.    　　D. 参考答案： A 4. 已知抛物线：，O是坐标原点，点P是抛物线C在第一象限内的一点，若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半，则直线OP的斜率为（   ） A. B. C. 2 D. 3 参考答案： C 【分析】 设出点P的坐标，根据抛物线定义及题设条件，可用p表示点P的坐标，进而求得的斜率。 【详解】设点为，则由抛物线的定义知点到抛物线的焦点的距离为， 同时由题知这个距离也等于， 所以， 解得，， 于是， 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及应用，属于基础题。 5. 函数的最小正周期为，且．当时，那么在区间上，函数的零点个数是（    ） A.            B.            C.             D. 参考答案： D 略 6. 已知直线（不全为），两点，，若，且，则直线(   ) A．与直线不相交                   B．与线段的延长线相交 C．与线段的延长线相交             D．与线段相交 参考答案： B 略 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（　　） A．B． C． D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P﹣ABC， 直观图如图所示：由图得，PA⊥平面ABC， ，，，， 则， 在△PBC中，， 由余弦定理得：， 则，所以， 所以三棱锥中，面积最大的面是△PAC，其面积为， 故选B． 　 8. 偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解． 【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2）， ∴原函数的周期T=2．                          又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）． 又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2， ∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）． 设 y1=f（x），y2=， 方程f（x）= 根的个数， 即为函数y1=f（x）的图象（蓝色部分）与 y2=的图象（红色部分）交点的个数． 由以上条件，可画出y1=f（x），y2=的图象： 又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点． ∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），y2=共有4个交点． ∴在[0，4]上，原方程有4个根． 故选D． 【点评】本题考查函数的性质，体现了函数与方程思想，数形结合思想，转化思想，属于基础题． 9. 已知集合M={1，2，3}，N={2，3}，则(     ) A．M=N B．M∩N=? C．M?N D．N?M 参考答案： D 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合． 【分析】利用子集的定义，即可得出结论． 【解答】解：∵集合M={1，2，3}，N={2，3}， ∴N?M， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合关系的应用，正确理解子集的含义是关键． 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值为 A.7     B.9     C.11     D.13 参考答案： C 循环1，；循环2，；循环3，；循环4， ；循环5，. 选C.      若能发现规律，运用归纳推理，则不必写出所有循环结果，也可得解. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，实数m，n满足，且，若在区间上的最大值是2，则的值为______. 参考答案： 16 【分析】 利用函数的单调性可得||＝2，或＝2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论． 【详解】由题意得﹣＝，∴n，且, 又函数在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数， ∴||＝2，或＝2． ∴当||＝2时，m，又n，∴n＝e，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件． 当＝2时，n＝，m，此时，f（x）在区间[m2，n]上最大值为||＝4，不满足条件． 综上，n＝e，m．, 故答案为． 【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 12. 已知函数，则            参考答案： 1007 13. 已知方程在区间内恰有两个实根，则的取值范围是          ． 参考答案： 14. 定义在上的奇函数，满足，则_________。 参考答案： 0 15. 等比数列中，，则=           参考答案： 略 16. 若x，y满足约束条件则的最大值为________. 参考答案： 5 【分析】 首先画出平面区域，利用z的几何意义求最大值． 【详解】x，y满足平面区域如图： z=x+y代表直线y=-x+z，其中z为直线的截距， 当直线y＝﹣x+z经过A（3，2）时，z最大， 所以z的最大值为5； 故答案为5． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，正确画出平面区域及利用目标函数的几何意义求最值是关键． 17. 设F为抛物线y2 =4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则                     。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 移动支付(支付宝支付，微信支付等)开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人。已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6。 (1)完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由。   习惯使用移动支付 不习惯使用移动支付 合计（人数） 60岁以上       60岁及以下       合计（人数）     200 (2)在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中，每月移动支付的金额如下表： 每月支付金额 [100,1000] (1000,2000] (2000,3000] 3000以上 人数 10 20 x 30 现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y，求Y的分布列及数学期望。 附：，其中n＝a＋b＋c＋d。 P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828   参考答案： 19. 设数列{an}满足a1=2，a2+a5=14，且对任意n∈N*，函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x满足f′（1）=0． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证Sn＜． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）求出函数的导数，由条件可得2an+1=an+2+an，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式，可得d=2，即可得到通项公式； （2）由bn==（﹣），运用裂项相消求和，由不等式的性质，即可得证． 【解答】（1）解：函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x的导数为f′（x）=2an+1x﹣（an+2+an）， 由f′（1）=0，可得2an+1=an+2+an， 由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，设公差为d， 则a1=2，a2+a5=2a1+5d=14， 解得d=2， 即有an=a1+2（n﹣1）=2n． （2）证明：bn===（﹣）， 则Sn=（1﹣+﹣+…+﹣） =（1﹣）＜． 则Sn＜． 20. （本小题满分13分）已知 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来　　的，把所得到的图象再向右平移单位，得到函数的图象，求函数在区间[0,]上的最大值.   参考答案： 解：（1）                   …………………3分 函数的最小正周期为.………………………4分 又由 得的单调递增区间为…ks5u……6分 （2）根据条件得，…………9分 当时，,………11分 所以当时，.……………………………………13分 略 21. 已知是正实数,设函数. (1)设,求的单调递减区间; (2)若存在使成立,求的取值范围. 参考答案： 解：(1)  由得,, 的单调递减区间为, (2)由得    (i)当,即时, 由得,   (ii)当时,  单调递增.      (iii)当,即时,  单调递减.  当时恒成立. 综上所述,   略 22. （本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，平面，，，． 求证：平面平面； 若点在棱上的射影为点，求二面角的余弦值． 参考答案： （Ⅰ）证明：因为平面，所以，  …………………………2分 又因为，所以平面，         ………………………4分 所以平面平面.                    …………………………5分 （Ⅱ）