上海新杨中学高一数学理上学期期末试题含解析

上海新杨中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则的值是 A．－1          B．1           C．2           D．4 参考答案： C 略 2. 首项为﹣12的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　） A．d＞ B．d＜3 C．≤d＜3 D．＜d≤ 参考答案： D 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：，解得d． 【解答】解：由题意可得：，解得． 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（　　） A．70 B．140 C．280 D．840 参考答案： A 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【分析】甲、乙分在同一组，只要甲和乙所在的这一组只要从其他7个人中选一个即可，剩下的6个人平均分成两个组，是一个平均分组问题，根据分步计数原理得到不同分组方法的种数． 【解答】解：∵甲、乙分在同一组， ∴甲和乙所在的这一组只要从其他7个人中选一个即可， 剩下的6个人平均分成两个组，是一个平均分组问题， 根据分步计数原理得到 不同分组方法的种数为． 故选A． 【点评】本题是一个排列组合问题，用到计数原理，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素． 4. 已知直线不经过第一象限，则k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由题意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范围． 【详解】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0， 解得k， 则k的取值范围是[，+∞）． 故选：D． 【点睛】本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题． 5. 方程的实数根的个数是（  ）.A. 1  B. 2  C. 3  D.无数个 参考答案： B 6. 已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α， m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是 (　　) A．0  B．1    C．2           D．3 参考答案： C 略 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（   ） A.               B.                C.3                D. 4 参考答案： D 8. 设a＞b＞0，则下列结论正确的是（　　） A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．＞＞0 D．＜＜0 参考答案： A 【考点】71：不等关系与不等式． 【分析】由a＞b＞0，可得a2＞b2，0＜．即可得出． 【解答】解：a＞b＞0，则a2＞b2，0＜． ∴A正确． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9. 一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是(     )． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，可求得外接球半径，代入表面积公式求得外接球表面积；再求解出正方体表面积，作比得到结果. 【详解】设正方体的棱长为，则正方体表面积 正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，即 正方体外接球表面积 本题正确选项：C 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积求解问题，属于基础题. 10. （4分）函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（） A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间在区间上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案． 解答： ∵函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间上为单调递减函数， ∴f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2， ∵最大值比最小值大， ∴1﹣a2=， 解得a= 故选：A． 点评： 本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. _______________. 参考答案： 略 12. 函数的定义域为                  . 参考答案： 13. 设关于的方程和的实根分别为和， 若，则实数的取值范围是 ． 参考答案： (－1,1) 14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为   . 参考答案：   15. 已知{Sn}为数列{an}的前n项和，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为　  ▲  　． 参考答案： [1,] ，， 因此，由得， 因为关于正整数的解集中的整数解有两个，因此   16. 求值：_____________。 参考答案：   解析：         17. 已知，则               . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 计算：（8分） 参考答案： 1 19. 已知函数 （Ⅰ）判断函数的单调性并用函数单调性定义加以证明； （Ⅱ）若在上的值域是，求的值； （Ⅲ）当，若在上的值域是 ，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）证明:设，则， , 在上是单调递增的. （2）在上单调递增， ，易得. 略 20. 数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. (1)求数列的公差. (2)求前n项和Sn的最大值. (3)当Sn＞0时，求n的最大值. 参考答案： (1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0, 解得:－＜d＜－,又d∈Z, ∴d=－4……………………………………………………………………4分 (2)∵d＜0，∴{an}是递减数列， 又a6＞0，a7＜0 ∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+ (－4)=78…………………………10分 (3)Sn=23n+ (－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0 ∴0＜n＜,又n∈N*, 所求n的最大值为12………………………………………………………………16分 21. 已知全集=，集合，， （1）求， （2）若，求的取值范围 参考答案： 1）因为， 所以 因为或 所以或 （2）因为 所以 略 22. 已知直线l：mx+ny﹣1=0（m，n∈R*）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2+y2=4相交所得弦长为2． （Ⅰ）求出m与n的关系式； （Ⅱ）若直线l与直线2x+y+5=0平行，求直线l的方程； （Ⅲ）若点P是可行域内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 考点： 简单线性规划；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆． 分析： （I）由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值， （II）根据直线平行的条件求出m=2n，再代入（I）求得式子，即可求得所求的直线的方程． （III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P．再利用线性规划的方法，研究取得最值的条件，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 解答： 解：（I）由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2， ∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2， ∴圆心到直线l的距离d═=， ∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d═=， 整理得：m2+n2=， （II）直线l：mx+ny﹣1=0的斜率为﹣，直线2x+y+5=0的斜率为﹣2，∴﹣=﹣2，m=2n 结合（I）得m=，n=， 故所求的直线的方程为 2x+y﹣=0， （III）令直线l解析式中y=0，解得：x=， ∴A（，0），即OA=， 令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=， 则OA+OB=≥2，当且仅当m=n=时，OA+OB取最小值．此时直线l的方程为： x+y﹣=0，如图，作出可行域的图形，是一个三角形ABC及其内部，而△ABC及其内部 都在直线x+y﹣=0的同侧，与直线x+y﹣=0没有公共点， 所以不存在满足条件的直线l，即不存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P． 点评： 本小题主要考查点到直线的距离公式、直线的一般式方程与直线的平行关系、简单线性规划等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．