浙江省嘉兴市三水湾中学高三数学理测试题含解析

浙江省嘉兴市三水湾中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（     ） A．1                 B．3              C．10               D．55 参考答案： C   【知识点】等差数列的性质;等差数列的通项公式D2 解析：因为,所以,则,所以, 故选C. 【思路点拨】先由解得d,再利用等差数列的通项公式即可. 2. 在中，，且，点满足：，则 （    ） A、              B、              C、             D、 参考答案： C 3. 若，且，则sin 2的值为（　　） A．                B. -           C.-       D 参考答案： C 4. 曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　） A．2e B．e C．2 D．1 参考答案： C 【考点】导数的几何意义． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1， 当x=1时，f′（1）=2， 即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 5. 在中，D为BC中点，若，，则的最小值是(  )  (A)             (B)          (C)             (D) 参考答案： D 6. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、，则:=……………………………………………（    ） . 1:1.           . 2：1.          . 3:2.         . 4:1. 参考答案： C 略 7. （本小题满分12分） 若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。    （1）求证：EC//平面PAD；    （2）若N为线段PB的中点，求证：平面PEB平面PBD；    （3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小。 参考答案： 证明：EC∥PD∴EC面PAD又PD面PAD；∴EC∥面PAD；∴BE∥面PAD （1）       证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD; ∴CO⊥面PBD。PD=2EC EC//PD, 又DO=OB,PN=NB∴NO//PD且PD=2NO; ∴NO//EC且NO=EC; ∴四边形NOBE是平行四边形；∴EN//CO; ∴EN⊥面PBD。又EN面PBD；∴平面PEB⊥平面PBD （2）       建立如图的空间直角坐标系，令EC=1，则PD= D(0,0,0)；P(0,0,2)；B(,,0)；D(0,,1)； 面ABCD的法向量==（0，0，2） 令面PBE的法向量=（x，y，z），则；则=（1，1，） ∴cos=;∴= 略 8. 设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为(     ) A． B． C．1 D．2 参考答案： A 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论． 【解答】解：如图所示， ∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD， ∴四边形MAEC为平行四边形， ∴==（+）； 又∵++=， ∴=﹣（+）=﹣3； ∴==． 故选：A． 【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系． 9. 以下四个函数图像错误的是(　　) 参考答案： C 10. 已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题： ①；          ②； ③；   ④． 其中正确的命题序号为                              （   　 ） A．①②               B．②③           C．①④            D．②④ 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，，点D在边BC上，，，，则AC＋BC＝_________________. 参考答案： 【知识点】解三角形  C8 【答案解析】  解析： ， , 故答案为： 【思路点拨】根据三角形的边角关系，利用正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论． 12. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，，，，，AC=_____。 参考答案： 【分析】 由已知及余弦定理可求，结合范围，即可求得， 求得，利用正弦定理即可得解的值． 【详解】，，，， 由余弦定理可得：， ， ， ， 由正弦定理可得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计 算能力和转化思想，属于中档题． 13. 若的内角、、满足6sinA=4sinB=3sinC,则     参考答案： 14. 在△ABC中，，则的值为            ． 参考答案： 15. 如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为        ． 参考答案： 6 略 16. 已知数列{an}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…8}，均有∈{2，1，﹣ }． （1）记S=++…+，则S的最小值为　　． （2）数列{an}的个数为　　． 参考答案： 6，491。 【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】令，则对每个符合条件的数列{an}，满足bi===1，且bi∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{an}．由此能求出结果． 【解答】解：令，则对每个符合条件的数列{an}， 满足bi===1，且bi∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8． 反之，由符合上述条件的八项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{an}． 记符合条件的数列{bn}的个数为N， 由题意知bi（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1， 且k的所有可能取值为0，1，2． （1）对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6． （2）N=1++=491． 【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 17. 双曲线的两条渐近线方程为　　． 参考答案： 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 解答： 解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上      而双曲线的渐近线方程为y=±x ∴双曲线的渐近线方程为 故答案为： 点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （理）（本题满分14分）质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。 （1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率； （2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。 参考答案： （理）解：（1）不能被4整除的有两种情形： ①4个数均为奇数，概率为 （2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为 故所求的概率为P （2）的分布列为 0 1 2 3 4 P 服从二项分布 19. 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由； （2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由； （3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使． 参考答案： （1）不是封闭数列． 因为取，则，即从而，所以不是封闭数列； （2）因为，所以是等差数列，又，所以， 若是“封闭数列”，所以对任意，必存在，使得 ，即，故是偶数，又对任意都有，且，所以，故，故可取的值为 经检验得：或； （3）证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在，使，则 ，故存在，使 下面证明 ①当时，显然成立 ②当时，若时则取，对不同的两项，存在，使，即，这与矛盾，故存在整数，使  （充分性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，于是，由于，为正整数，即证毕． 20. (本小题满分13分)     在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=，C=     (I)若2sinA=3sinB，求a，b；     (II)若cosB=，求sin2A的值，   参考答案： (I)a=3,b=2; (II) 21. （12分）已知函数f（x）=mlnx+（4﹣2m）x+（m∈R）． （1）当m≥4时，求函数f（x）的单调区间； （2）设t，s∈[1，3]，不等式|f（t）﹣f（s）|＜（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3对任意的m∈（4，6）恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3＞5﹣2m﹣mln3﹣﹣12+6m成立，即（2﹣m）a＞﹣4（2﹣m），根据m＞2，分离a，从而求出a的范围即可． 【解答】解：（1）函数定义域为（0，+∞）， f′（x）=， 令f′（x）=0，得x1=，x2=﹣， 当m=4时，f'（x）≤0，函数f（x）的在定义域（0，+∞）单调递减； 当m＞4时，由f'（x）＞0，得﹣＜x＜；由f′（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞， 所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣，），递减区间为（0，﹣），（，+∞）． （2）由（1）得：m∈（4，6）时，函数f（x）在[1，3]递减， ∴x∈[1，3]时，f（x）max=f（1）=5﹣2m，f（x）min=f（3）=mln3++12﹣6m， 问题等价于：对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2﹣m）﹣2ln3＞5﹣2m﹣mln3﹣﹣12+6m成立， 即（2﹣m）a＞﹣4（2﹣m）， ∵m＞2，则a＜﹣4， ∴a＜（﹣4）min， 设m∈[4，6），则m=4时，﹣4取得最小值﹣， 故a的范围是（﹣∞，﹣]． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题． 22. （15分） 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.    （