黑龙江省哈尔滨市第七中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第七中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线的焦点坐标为               . 参考答案： （2，0） 略 2. 在独立性检验中，统计量有两个临界值：3.841和6.635；当＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（    ） A．有95%的把握认为两者有关 B．约有95%的打鼾者患心脏病 C．有99%的把握认为两者有关  D．约有99%的打鼾者患心脏病 参考答案： C 略 3. 一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 参考答案： B 如图长方体中，分别是中点，该几何体是此长方体被　面所截左边的部分，其体积为长方体体积的一半，即，故选B． 4. 已知函数，则（    ） A. 15 B. 30 C. 32 D. 77 参考答案： B 【分析】 先求得导函数，由此求得. 【详解】依题意，所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的计算，属于基础题. 5. 已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积． 【解答】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， ∵该四棱锥的表面积等于，   设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图， ∴该四棱锥的底面边长为 AB=， 则有+4××=， ∴R= ∴球O的体积是=． 故选B． 【点评】本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解． 6. 已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A．a＜ab＜ab2 B．ab＜a＜ab2 C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab 参考答案： C 【考点】R3：不等式的基本性质． 【分析】根据a，b的范围以及不等式的性质，判断即可． 【解答】解：由a＞0，b＜0知，ab＜0，ab2＞0， 又由﹣1＜b＜0知0＜b2＜1， 所以ab2＜a， 故选：C． 7. 已知，设函数若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为（  ） A. [0,1] B. [0,2] C. [0,e] D. [1,e] 参考答案： C 【分析】 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立。 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以。当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C。 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。 8. ．已知且，则2a+3b的取值范围是（　　　　　） A、           B、         C、     D、 参考答案： D 略 9. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为（） A．2+2 B．-1 C．2-2 D．+1 参考答案： D 10. 给出平面区域如图所示，其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是           A            B  1          C  4        D  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的三边成等差数列，且，则的最大值是   ▲   . 参考答案： . 12. 曲线在点处的切线的斜率是__ ___ 参考答案： 2 13. 把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），……，则第104个括号内各数字之和为　　 参考答案： 1125072 略 14. 若在行列式中，元素的代数余子式的值是         . 参考答案： 略 15. 事件在一次试验中发生的次数的方差的最大值为               。 参考答案： 16. 已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为___． 参考答案： （2,3） 【分析】 令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解. 【详解】令x-2=0,所以x=2， 把x=2代入函数的解析式得. 所以函数的图像过定点A（2,3）. 故答案为：（2,3） 【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 17. 曲线在处的切线方程为              。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围． 参考答案： 解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 令f′(x)>0，得ex>a， 当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立； 当a>0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．…..6分 (2)由(1)知f′(x)＝ex－a. ∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立， 即a≤ex，x∈R恒成立． ∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0. 即a的取值范围为(－∞，0]．…………………12分   略 19. （本小题满分16分） 设圆，动圆. （1）求证：圆、圆相交于两个定点； （2）设点P是圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由. 参考答案： 解（1）将方程化为， 令得或，所以圆过定点和，……………4分 将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分 （2）设，则，…………………………8分， …………………………………10分 即，整理得（*）………………………………………………12分 存在无穷多个圆，满足的条件为（1）有解， …………………14分   而（1）无解，故不存在点P，使无穷多个圆，满足.………………16分 20. （本小题满分12分）已知椭圆：经过点，其离心率． （I）求椭圆的方程； （II）过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，试判断随着的转动，直线与的斜率的乘积是否为定值？说明理由． 参考答案： （I）∵，∴，，            ∵点在椭圆上，∴，                 21. 已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点． （1）当Q的坐标为(1,0)时，求切线QA，QB的方程． （2）求四边形面积的最小值． （3）若，求直线MQ的方程． 参考答案： 见解析． （）当过的直线无斜率时，直线方程为，显然与圆相切，符合题意； 当过的直线有斜率时，设切线方程为，即， ∴圆心到切线的距离， 解得， 综上，切线，的方程分别为，． （）， ， ． ∴当轴时，取得最小值， ∴四边形面积的最小值为． （）圆心到弦的距离为， 设，则， 又， ∴， 解得． ∴或， ∴直线的方程为或． 22. 已知函数,,且点处取得极值． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围； （Ⅲ）证明：． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵， ∴ ∵函数在点处取得极值， ∴，即当时， ∴，则得.经检验符合题意                     ……4分 （Ⅱ）∵,∴,   ∴.   令,                              ……6分 则. ∴当时，随的变化情况表： 1 （1,2） 2 （2，3） 3   + 0 -     ↗ 极大值 ↘   计算得：，，， 所以的取值范围为。                         …… 9分 （Ⅲ）证明：令， 则，               ……10分 令，则 ， 函数在递增，在上的零点最多一个   ……11分 又，， 存在唯一的使得，                         ……12分 且当时，；当时，. 即当时，；当时，. 在递减，在递增， 从而.                        ……13分 由得即，两边取对数得：，， ， 从而证得.                                      ……14分 略