福建省南平市大历中学2022年高三数学理期末试卷含解析

福建省南平市大历中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的k的值是（   ）                                                                                                                               A.4                 B.5              C.6             D.7 参考答案： A 2. 设l表示直线，，，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 参考答案： B 【分析】 A中，与可能相交、平行或；B中，由面面平行的性质可得；C中，与相交或平行；D中，与相交或平行，即可求解． 【详解】由表示直线，，，表示不同的平面， 在A中，若且，则，则与可能相交、平行或；    在B中，若且，则，由面面平行的性质可得； 在C中，若且，则，则与相交或平行；    在D中，若且，则，则与相交或平行， 故选B． 3. A，b为正实数，且的最大值为                                               （    ）        A．                         B．                        C．                        D． 参考答案： B 4. 在中，若，则的形状为                   （    ） A．等腰三角形    B．直角三角形      C．等腰直角三角形   D．等腰或直角三角形 参考答案： D 5. 执行如图的程序框图，当输入的n=351时，输出的k=（   ） A．355               B．354           C．353          D．352 参考答案： B ①，则，， 成立，，； ②成立，，； ③成立，，； ④不成立，所以输出.故选． 6. 设，则对任意实数是的（    ） A．充分必要条件 B．充分而非必要条件　　C．必要而非充分条件　　D．既非充分也非必要条件 参考答案： A 考点：充分必要条件，函数的奇偶性与单调性． 7. 若，则（   ） A．    B．          C．   D． 参考答案： C 8. 若复数z满足（3 – 4i）z=4+3i，则|z|= A．5    B．4    C．3      D．1 参考答案： D 依题意得：，所以，，选D. 9. 将函数图象沿x轴向右平移个单位长度，再将所得图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍、纵坐标保持不变，这样得到的是函数的图象，那么的解析式是（    ）     A． B．     C． D． 参考答案： D 略 10. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，则的取值范围是（　　） A．（0，） B．（，e） C．（e，+∞） D．（0，）∪（e，+∞） 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】由函数为定义在R上的偶函数且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则不等式可转化为f（ln）＜f（1），求解对数不等式即可解得答案． 【解答】解：∵f（x）定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调减函数 ∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数， 又f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0， ∴f（ln）＜f（1）， ∴|ln|＞1， ∴ln＞1或ln＜﹣1， 可以解得，的取值范围是（0，）∪（e，+∞）． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________. 参考答案： 略 12. 设常数，则a=            ；               。 参考答案： 13. 设,若对任意实数都有||≤,则实数的取值范围是_________.    参考答案： 略 14. 在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为　　． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理；GG：同角三角函数间的基本关系． 【分析】由tanA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinC及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值． 【解答】解：∵tanA=， ∴cos2A==，又A∈（0，30°）， ∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1， 根据正弦定理得： =， 则AB===． 故答案为： 15. 设正实数x，y，z满足，则y的最大值为_________． 参考答案： 2 16. 某程序框图如图所示，判断框内为“？”，为正整数，若输出的，则判断框内的________． 参考答案： 4 17. 等比数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，若S6=9S3，则a6=　 　． 参考答案： 32 【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q，由此能求出a6的值． 【解答】解：∵{an}是首项为1的等比数列，Sn为{an}的前n项和，S6=9S3， ∴=9×， 解得q=2， ∴a6=25=32． 故答案为：32． 【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，确定q是关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 本小题满分12分）各项均为正数的等比数列中，． （Ⅰ）求数列通项公式； （Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和． 参考答案： 由条件知……………………2分           ………… 4分 （2）设数列公差为，则，…………6分                 ……………………8分                                  ……………………10分                                         ……………………12分 略 19. 已知函数  （1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证: 参考答案： （1）因为，则  ……  2分 当时，；当时， 所以在上单调递增；在单调递减，所以在处取得极大值。 因为在区间（其中）上存在极值。 所以：，解得：        ……4分 （2）不等式即为 记    所以            …………  6分    令，则， ，在上单调递增，                                 ，从而， 故在上也单调递增，    所以，所以 .                     ………… 8分 （3）由（2）知：恒成立，即，      令，则，               ………… 10分      所以 , ， ，                …   …  ，                                    叠加得： =n-2(1-)＞n-2+＞n-2 .           ………… 12分 略 20. 对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、. （1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程； （2）若双曲线的方程为，过点且与的伴随曲线相切的直线交曲线于、两点，求的面积（为坐标原点） （3）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程.   参考答案： 解：（1）∵，             ………………………1分 由，得，即 可得                                           ………………………3分 ∴的渐近线方程为                        ………………………4分 （2）双曲线的伴随曲线的方程为，设直线的方程为，由与圆相切知  即  解得            ……………………………6分 当时，设、的坐标分别为、 由  得，即， ∵，=  ∴ ∴        ………………………8分 ∴ 由对称性知，当时，也有        …………………………10分 （3）设，，又、， ∴直线的方程为…………① 直线的方程为…………②         …………………………12分 由①②得                            ……………………………………14分 ∵ 在双曲线上 ∴    ∴             ……………………………………16分 略 21. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示： 组别 一 二 三 四 五 候车时间（分钟） [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 人数 2 6 4 2 1     （1）估计这15名乘客的平均候车时间； （2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （3）若从上表第三,四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率。 参考答案： (1)平均候车时间为 …………3分 （2）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为 故这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为 60× …………6分 （3）设表中第三组的4个人分别为a1、a2、a3、a4、第四组的2个人分别为b1、b2， 从这6人中选2人作进一步的问卷调查， ①用列举法列出上述所有可能情况：（a1，a2 ）、（ a1，a3 ）、（ a1，a4 ）、 （a1，b1）、（ a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、（a2，b2）、 （a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共计15种 …………8分． ②抽到的两人恰好来自不同组的情况有 （a1，b1）、（ a1，b2）、（a2，b1）、（a2，b2）、 （a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2），共计8种，        …………10分         故抽到的两人恰好来自不同组的概率为                        …………12分 22. 设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性； （Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值． 参考答案： 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2， 由f′（x