广东省茂名市第十五高级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间0,2π的图象如图所示，那么ω＝( )
A．1 B．2 C． D．
参考答案：
B
2. 已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状， 记表示第行的第个数，则=( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
3. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
4. 已知直线，平面，且，，下列四个命题中是：
A、若∥，则； B、若，则∥；
C、若，则∥； D、若，则．
参考答案：
A
略
5. 若
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 若函数的图象的对称中心在区间内有且只有一个，则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】根据正弦函数图象的对称中心是（kπ，0），求出φ的表达式，再根据题意求出φ的取值范围，即可得出φ的一个可能取值．
【解答】解：根据题意，令2x+φ=kπ，k∈Z，
得φ=kπ﹣2x，k∈Z；
又函数f（x）图象的对称中心在区间（，）内，
∴﹣2x∈（﹣，﹣），
∴kπ﹣2x∈（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z；
当k=1时，φ∈（，），
又0＜φ＜，
∴φ的一个可能取值是．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
7. 已知曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的斜率为1，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】首先求出函数的导数，然后求出f'（1）=1，进而求出a的值．
【解答】解：∵f'（x）=，曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的斜率为1，
∴f'（1）==1
解得：a=．
故选：D．
8. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
先根据三角函数的定义求出，然后再根据二倍角的余弦公式求出．
【详解】∵为角终边上一点，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题．
9. 已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. (1,2020) B.(1,2019)
C. (2,2020) D. (2,2019)
参考答案：
C
【分析】
画出函数图像，根据对称得到，再得到，最后得到答案.
【详解】
画出函数图像：
，设
则
即
故答案选C
【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
10. 如图，面积为8的平行四边形对角线，与交于点，某指数函数，经过点，则＝ （ ）
A.B.C.D.
参考答案：
A
【知识点】指数函数的图像与性质
解析：设点，则点坐标为，又
∴，平行四边形的面积＝，又平行四边形的面积为8,∴∴,故选A.
【思路点拨】首先设点，则点坐标为，又∴；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入求出a的值即可．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，四面体中，两两垂直，且 . 给出下列命题：
①存在点（点除外），使得四面体仅有3个面是直角三角形；
②存在点，使得四面体的4个面都是直角三角形；
③存在唯一的点，使得四面体是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；
④存在唯一的点，使得四面体与四面体的体积相等；
⑤存在无数个点，使得与垂直且相等.
其中正确命题的序号是 ▲ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
参考答案：
①②⑤
略
12. 当时，方程表示的曲线可能是 ．（填上你认为正确的序号）
① 圆； ②两条平行直线； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线．
参考答案：
①②③
13. 在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于 ．
参考答案：
由题意，取AB,PB的中点E,F，连接AF,PE，且 ，则点M为正三角形PAB的中点， ，易证PE ⊥平面ABC，取AC中点D，连接ED，
作OD∥PE，OM∥ED，连接OA，则OA为外接球的半径，又 ， ，则 ，
所以外接球的表面积为 ，从而问题可得解.
14. 已知直线和，则∥的充要条件是= ．
参考答案：
3
因为的斜截式方程为，斜率存在为，所以直线的斜率也存在所以，即，所以要使∥，则有，解得或且，所以。
15. 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且 则an= _____．
参考答案：
【分析】
根据，则，两式作差，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解．
【详解】由题意，根据，则，
可得，即，即，
又，解得，
∴数列是等比数列，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据数列的和的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项和的关系，合理递推作差是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16. 已知，则的值等于 ．
参考答案：
2008
17. 已知函数，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是
参考答案：
【知识点】函数零点的判定定理 B9
【答案解析】{m|m≤或m=1} 解析：解：﹣1≤x＜0时，f（x）=2x2+mx﹣1，
﹣2＜x＜﹣1时，f（x）=mx+1，∴当x=﹣1时，f（﹣1）=1﹣m，
当1﹣m=0，即m=1时，符合题意，当1﹣m＞0时，f（x）在（﹣1，0）有零点，
∴f（﹣2）=﹣2m+1≥0，解得：m≤，当1﹣m＜0，在（﹣2，0）上，函数与x轴无交点，
故答案为：{m|m≤或m=1}．
【思路点拨】通过讨论x的范围，得出函数的解析式，由f（﹣1）=1﹣m，通过讨论1﹣m的范围，结合函数的图象的性质，从而求出m的范围
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．
（I）求ω的值；
（II）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性．
参考答案：
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx﹣）﹣1，由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值．
（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性分类讨论即可得解．
【解答】解：（I），
因为图象两相邻对称轴间距为，
所以T=π=，解得ω=1．
（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，
当x∈[0，π]时，2x﹣∈[﹣，]，
当，
当，
当，
所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
19. 设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0).
（1）求f(x)的最小值；
（2）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y＝x，求a，b的值.
参考答案：
解:（1）(方法一)由题设和均值不等式可知，
f(x)＝ax＋＋b≥2＋b.
其中等号成立当且仅当ax＝1.
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(方法二)f(x)的导数f′(x)＝a－＝.
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上递增；
当0
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