河南省郑州市第十一中北校高二数学理联考试卷含解析

河南省郑州市第十一中北校高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（    ）                      A．210种            B．420种            C．630种            D．840种 参考答案： B 略 2. 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB= (    ) A．            B．          C．            D． 参考答案： B 3. 如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（　　） A． B． C．4 D． 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值． 【解答】解：如图， 化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z， 要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个， 则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合， 即﹣a=，∴a=． 故选：B． 4. 经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（　　） A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y 参考答案： D 【考点】直线的截距式方程． 【分析】直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；，当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为 x+y=k，把点M（2，2）代入，求得 k=4，可得直线方程，综合可得结论． 【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为=，即x=y． 当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为 x+y=k， 把点M（2，2）代入可得2+2=k，求得 k=4，可得直线方程为x+y=4． 故选：D． 5. 函数的零点所在的大致区间是 A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，＋∞） 参考答案： B 6. 一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形． 【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形． 则三棱锥的体积V==． 故选：B． 【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 7. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得． 【解答】解：设该女第n天织布为an尺，且数列为公比q=2的等比数列， 则由题意可得=5，解得a1=， 故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=， 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题． 8. 在ΔABC中，a=2，b=3，c=4，则ΔABC的面积是                  （A）    （B）         （C）        （D） 参考答案： A 9. 抛物线的焦点坐标为                                  （    ） A．        B．            C．          D． 参考答案： B 略 10. 设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为(      ) 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为　　． 参考答案： 6π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2． 【解答】解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形， ∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2． 则圆柱的表面积S=2?π?2+2?π?12=6π． 故答案为6π． 12. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】分别求出铜钱圆的面积和中间正方形的面积，利用面积比求油滴正好落入孔中的概率． 【解答】解：铜钱圆的面积为π（cm2）， 中间正方形的面积为（cm2）． ∴油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为=． 故答案为：． 13. 参考答案： 14. 已知复数满足是虚数单位)，则_____________．  参考答案： 略 15. 在xOy平面内，曲线y = – x 2 + x + 1上的点到点A和到直线l的距离相等，则点A的坐标是           ，直线l的方程是          。 参考答案：  (，1 )，y = 16. 函数y＝的定义域为__________. 参考答案： 略 17. 平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是　   　． 参考答案： k＜﹣1或k＞1 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围． 【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x， 过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1）， 代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， ∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线， ∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0， ∴k＜﹣1或k＞1． 故答案为：k＜﹣1或k＞1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设x=1和x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点 (1) 求a,b的值； (2) 求f(x)的单调区间。   参考答案：   （B卷）1)                  (2) ∴f(x)在(2，+∞)及(0,1)上是减函数，在(1，2)上为增函数   略 19. （本小题满分12分）在棱长为2的正方体中，设是棱的中点. ⑴ 求证：；⑵ 求证：平面； ⑶．求三棱锥的体积. 参考答案： 证明：连接BD，AE.   因四边形ABCD为正方形，故， 因底面ABCD，面ABCD，故，又， 故平面，平面，故. ----------- 4分 ⑵. 连接，设，连接， 则为中点，而为的中点，故为三角形的中位线， ，平面，平面，故平面.----------- 8分 ⑶. 由⑵知，点A到平面的距离等于C到平面的距离， 故三棱锥的体积， 而，三棱锥的体积为. ……………………………………--- 12分 20. 若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围． 参考答案： （﹣2，1） 【考点】直线的倾斜角． 【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围； 【解答】解：∵过P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角， ∴直线的斜率小于0， 即＜0，即，解得﹣2＜a＜1， 故a的取值范围为（﹣2，1）． 【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系． 21. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.   （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率. 参考答案： 略 22. （本小题满分10分）如图，在正ΔABC中，点D、E分别在边BC,  AC上,且,，AD，BE相交于点P. 求证：(I) 四点P、D、C、E共 圆；      (II) AP ⊥CP。 参考答案： 证明：（I）在中，由知： ≌，………………2分 即. 所以四点共圆；………………5分 （II）如图，连结. 在中，,, 由正弦定理知.………………8分 由四点共圆知，, 所以………………10分 23.解：