四川省自贡市代寺镇中学高一数学理上学期期末试题含解析

四川省自贡市代寺镇中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中,在区间上是增函数的是 （   ） A．   B．     C．      D． 参考答案： A 2. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域． 【详解】，又>0，∴，∴ ∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1； 当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2． ∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}． 故选D． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题． 3. 在平面直角坐标系中，如果不同的两点，在函数 的图象上，则称是函数的一组关于轴的对称点（与视为同一组）， 则函数关于轴的对称点的组数为（    ）      A．              B．          C．           D． 参考答案： C 4. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是          （     ） A．   B．   C.    D. 参考答案： C 略 5. 若用一个平面去截一个正方体得到一个截面多边形,则该多边形不可能是【   】.     A.锐角三角形        B.直角三角形      C.菱形             D.正六边形 参考答案： B 6. 等于(     ) A .1         B.         C .0         D. 参考答案： C 7. 已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　） A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x 参考答案： A 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；中点坐标公式． 【分析】由已知得AB的中点C（2，2），kAB==1，线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，由此能求出线段AB的垂直平分线的方程． 【解答】解：∵点A（1，1），B（3，3）， ∴AB的中点C（2，2）， kAB==1， ∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1， ∴线段AB的垂直平分线的方程为： y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4． 故选：A． 8. 平面向量=(1,2)，=(4,2)，=m+（m∈R），且与的夹角与与的夹角互补，则m=（） A．－2          B．－1         C．1            D．2 参考答案： A 9. 若为等差数列，为其前n项和，且，则的值是(    )    A、             B、            C、              D、 参考答案： A 10. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由扇形的弧长公式列方程得解. 【详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得： ，解得： 故选：D 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 化简：（1+）sin2θ=　 　． 参考答案： 1 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 【解答】解：：（1+）sin2θ=?sin2θ=1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 12. 对于正项数列，定义为的“给力”值，现知某数列的“给力”值为，则数列的通项公式为=                 参考答案： 13. 函数y=的定义域用区间表示为__________． 参考答案： （﹣∞，﹣4）∪（﹣4，4）∪（4，6] 考点：函数的定义域及其求法． 专题：计算题． 分析：由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0列不等式组求解x的取值集合，然后用区间表示． 解答：解：由，解得x≤6，且x≠﹣4，x≠4． ∴函数y=的定义域用区间表示为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，4）∪（4，6]． 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，4）∪（4，6]． 点评：本题考查了函数的定义域及其求法，训练了区间表示法，是基础题 14. 已知，则的值是_____. 参考答案： . 【分析】 由题意首先求得值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 15. 如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm 参考答案： 【分析】 通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积. 【详解】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得. 【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力. 16. 定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为的周期函数，且当时， ，则的值是             参考答案： 17. 已知幂函数的图象过点，则__________． 参考答案： 设幂函数为，由于图象过点，得，∴， ∴． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值； （Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x， ∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4， ∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4 ∴f（0）=4，f′（0）=4 ∴b=4，a+b=8 ∴a=4，b=4；   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣）， 令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2 ∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0 ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2） 当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）． 19. (12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：     轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600   按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． (1)求z的值； (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； 参考答案： (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，  ----2分 所以n＝2 000.   -------------3分  则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.           -----4分 (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得， 即a＝2. -----5分  因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个． -------- 9分 事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．               ---------------11分 故P(E)＝，即所求概率为.   -------------12分 20. （本小题满分12分）求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值． 参考答案： f(x)＝2＋3－． (1)当＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a；……（4分） (2)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为＝3－；…（8分） 21. 设关于的不等式的解集为M，且，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：原不等式即         又         略 22. （12分）（2015秋?余姚市校级期中）已知函数f（x）=a﹣ （1）若该函数为奇函数，求a； （2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）直接根据函数为奇函数，利用f（0）=0，即可求解a的值； （2）首先，判断该函数为R上的增函数，然后，利用单调性的定义进行证明． 【解答】解：（1）∵函数为奇函数， ∴f（0）=0， ∴a﹣1=0， ∴a=1， ∴a的值为1． （2）根据（1）得 f（x）=1﹣， ∴该函数为R上的增函数，证明如下： 任设x1，x2∈R，且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=1﹣1+， =， ∵x1＜x2， ∴， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， ∴该函数为R上的增函数． 【点评】本题重点考查了函数为奇函数的概念、函数单调性的定义等知识，属于中档题．