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2022-2023学年山西省晋中市太谷县明星镇中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知的展开式中没有常数项,则n的最大值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
参考答案:
C
【分析】
利用二项式通项公式分类讨论:当(x+1)中取x时,式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即 ;
当(x+1)中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.
【详解】因为的展开式中没有常数项;由二项式展开式的通项公式 可知
(1)当(x+1)中取x时,式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即;
(2)当(x+1)中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即 ,选项中的n要同时满足上面两个不等式,故选B.
【点睛】本题考查了二项式定理地应用,难度较高,解题中首先要根据题意进行分类讨论,确定后面式子中x的指数幂,再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组,有一定的难度,解题关键是对二项式定理的深度理解.
2. 已知函数( )
A.在上递增,在上递减
B.在上递增,在上递减
C.在上递增,在上递减
D.在上递增,在上递减
参考答案:
A
略
3. a,b,c表示直线,表示平面,下列命题正确的是( )
A. 若,,则 B. 若⊥,⊥,则⊥
C. 若⊥,⊥,则 D. 若⊥,⊥,则
参考答案:
D
【分析】
根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可.
【详解】,,此时或,错误;
,,此时或,错误;
,,此时可能平行、异面或相交,错误;
垂直于同一平面的两直线平行,正确.
本题正确结果:
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用,属于基础题.
4. 在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为 ( )
A.25 B.6 C.7 D.8
参考答案:
C
5. 某商人将彩电先按原价提高,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了元,则每台彩电原价是( )元.
A.2520 B.2250 C.900 D.3150
参考答案:
A
略
6. (3分)使得函数f(x)=lnx+x﹣2有零点的一个区间是()
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
参考答案:
C
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由题意可得函数的定义域(0,+∞),令f(x)=lnx+x﹣2,然后根据f(a)?f(b)<0,结合零点判定定理可知函数在(a,b)上存在一个零点,可得结论.
解答: 解:由题意可得函数的定义域(0,+∞),令f(x)=lnx+x﹣2
∵f(1)=﹣<0,f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0
由函数零点的判定定理可知,函数y=f(x)=lnx+x﹣2在(2,3)上有一个零点
故选C.
点评: 本题主要考查了函数的零点判定定理的应用,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.
7. 若,则等于
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 函数一定存在零点的区间是( )
A. B. C. D.(1,2)
参考答案:
A
∵函数在上的连续函数,∵,,∴,由函数零点的判定定理可知:函数在区间内存在零点,故选A.
9. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
参考答案:
C
略
10. 已知,是两个不共线的向量,且与共线,则m=( )
A. B. C.3 D.﹣3
参考答案:
A
【考点】平行向量与共线向量.
【分析】利用共线向量的性质列出方程,由此能求出m的值.
【解答】解:∵是两个不共线的向量,且与共线,
∴,
解得m=.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为,从{2,4,6}中随机选取一个数为,则的概率是______________。
参考答案:
12. 若BA,则m的取值范围是 .
参考答案:
13.
参考答案:
{y|10,则函数的最大值为
参考答案:
-2
略
17. 已知直二面角,点,C为垂足,,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=2sin2x.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.
(1)求g(x)的单调增区间;
(2)已知区间(m,n∈R且m<n)满足:y=g(x)在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求n﹣m的最小值.
参考答案:
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;H1:三角函数的周期性及其求法.
【分析】(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得g(x)的单调增区间.
(2)利用正弦函数的零点和周期性,求得n﹣m的最小值.
【解答】解:(1)把函数f(x)=2sin2x 的图象向左平移个单位,可得y=2sin(2x+)的图象;
再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)=2sin(2x+)+1的图象.
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得g(x)的单调增区间为,k∈Z.
(2)令g(x)=2sin(2x+)+1=0,求得sin(2x+)=﹣,∴2x+=2kπ﹣,或2x+=2kπ﹣,
即x=kπ﹣,或 x=kπ﹣,k∈Z.
故函数g(x)在一个周期上有两个零点.
根据y=g(x)在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,
当n﹣m的最小值时,可取m=﹣,n=14π﹣,此时,n﹣m=14π+=.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性、零点和周期性,属于中档题.
19. 已知函数,其中,
(1)若f(x)的图象关于直线对称,求a的值;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)由题得,解方程即得解;(2)把对称轴与区间[0,1]分三种情况讨论求函数的最小值.
【详解】(1)因为,
所以,的图象的对称轴方程为.
由,得.
(2)函数的图象的对称轴方程为,
①当,即时,
因为在区间(0,1)上单调递增,
所以在区间[0,1]上的最小值为.
②当,即时,
因为在区间(0,)上单调递减,在区间(,1)上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
③当,即时,
因为在区间(0,1)上单调递减,
所以在区间[0,1]上的最小值为.
综上:.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,考查二次函数最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20. 已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0},B={x|5﹣2m≤x≤m+1}.
(1)当m=3时,求集合A∩B,A∪B;
(2)若B?A,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算.
【专题】集合思想;综合法;集合.
【分析】(1)将m=3代入求出B,求出A,从而求出A∩B,A∪B即可;(2)根据B?A,通过讨论B=?和B≠?时得到关于m的不等式组,解出即可.
【解答】解:(1)当m=3时,B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1,4]
因为A={x|2≤x≤6}
所以A∩B=[2,4]A∪B=[﹣1,6]
(2)因为B?A,所以当B=?时,5﹣2m>m+
所以
当B≠?时,则
解得
综上所述:实数m的取值范围为
【点评】本题考查了集合的包含关系,考查集合的交集.并集的运算,是一道基础题.
21. 已知函数,不等式的解集为.
(Ⅰ)求实数a、b的值;
(Ⅱ)若有两个不相等的实数根,求实数k的取值范围.
参考答案:
(I)∵的解集为,即的解集为,
∴,,即,.
(II),
原方程可化为.
令,则,从而有两个不同的正实数根.
∴
即 ∴.
略
22. (本小题满分分)设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分。
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图;
(3)写出函数f(x)的值域;
(4)写出函数的单调递减区间。
参考答案:
(1)设顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的方程为y=a(x-3)2+4,
将(2,2)代入可得a=-2,
∴y=-2(x-3)2+4,
即y=-2x2+12x-14.
设x<-2,则-x>2.
又f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14,
即f(x)=-2x2-12x-14.
∴函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式为f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数f(x)的图象如图所示:
(3)由函数图象可得函数f(x)的值域为(-∞,4].
(4)由图知,递减区间为及(除无穷外,其他端点也可以取到)
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