山西省忻州市原平新原乡乡中学高三数学理测试题含解析

山西省忻州市原平新原乡乡中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量且与的夹角为钝角，则的 取值范围是                                                    （     ）     （A） [2，6]            （B）       （C）      （D） (2，6) 参考答案： D 略 2. 设集合，，则M∩N =（    ） A. B. {2} C. {1} D. {1,2} 参考答案： A 【分析】 根据集合中元素的意义判断即可. 【详解】由题,集合M为点的集合, N为数的集合.故. 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题. 3. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且=，若∠F1PF2=，则双曲线C2的渐近线方程为（　　） A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±2y=0 参考答案： c 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得a1=3a2，丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，利用余弦定理即可求得c2=3a22，b2=a2，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【解答】解：设椭圆C1的方程：（a1＞b1＞0），双曲线C2的方程：（a2＞0，b2＞0）， 焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）， 由e1=，e1=，由=，则=，则a1=3a2， 由题意的定义：丨PF1丨+丨PF2丨=2a1，丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2， 则丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2， 由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF1丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos∠F1PF2， 则（2c）2=（4a2）2+（2a2）2﹣2×4a2×2a2×， c2=3a22，b22=c2﹣a22=2a22，则b2=a2， 双曲线的渐近线方程y=±x=±x，即x±y=0， 故选：C． 4. 函数的图象大致为 参考答案： D 5. 设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）?|=（　　） A． B．2 C． D．1 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模． 【分析】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模． 【解答】解：由z=﹣1﹣i，则， 所以=． 故选A． 6. 某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 如图所示：在边长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中，四棱锥满足条件，故，得到答案. 【详解】如图所示：在边长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中，四棱锥满足条件. 故，，. 故，故，. 故选：D. 【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7. 抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7 ∴x1+x2=5， ∴A、B到y轴的距离之和为5， 故选：D． 8. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　） A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x| 参考答案： C 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．  【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论． 【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增， 故选：C． 【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 9. 函数存在零点的区间为(    )  A .(0,1)        B.  (1,2)       C.  (2,3)        D. (3,4) 参考答案： D 10. 函数f（x）=+3的最大值、最小值分别为M、n，则M+n=（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 参考答案： C 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】令g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案． 【解答】解：∵f（x）=+3， 设g（x）=， ∴g（﹣x）==﹣g（x）， ∴g（x）为奇函数， ∴g（x）max+g（x）min=0 ∵M=3+g（x）max，n=3+g（x）min， ∴M+n=3+3+0=6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数，的定义域都是，直线（），与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设（，），且，为区间的“平行曲线”，，在区间上的零点唯一，则的取值范围是      ． 参考答案： . 考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数与函数的单调性. 【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数与函数的单调性，以及学生综合运用知识的能力及运算能力，属难题；高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出现，根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步：1.判断函数的单调性；2.利用函数存在性定理，得到参数所满足的不等式；3.解不等式求参数范围. 12. 已知抛物线的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．若则直线PF的方程为          。 参考答案： 或     13. 已知=            参考答案： 14. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为__________ 参考答案： 4 15. 包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为　　． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 分析：先求出基本事件总数，再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数，由此能示出甲与乙、丙都相邻的概率． 解：包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排， 基本事件总数n=， 甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m==4， ∴甲与乙、丙都相邻的概率p=． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用． 16. 如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=         ． 参考答案： 考点：与圆有关的比例线段． 专题：计算题；压轴题． 分析：在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可． 解答： 解：∵PC是圆O的切线， ∴由切割线定理得： PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8， ∴PA=2， ∴OA=OB=3，连接OC，OC=3， 在直角三角形POC中，利用面积法有， ∴CE==． 故填：． 点评：此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段以及切割线定理，属于基础题． 17. 已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，则         参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）若，分别为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，M在右准线上，且满足， （1）求此双曲线的离心率； （2）若此双曲线过点，求该双曲线的方程； （3）设（2）中双曲线的虚轴端点为、（在y轴正半轴上），是否存在经过点的直线l与双曲线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 解析：（1）由知，四边形PF1OM为平行四边形，又由知其为菱形，设半焦距为c，由 又舍去）…………………4分 （2）因为，所以c= 2a. 设双曲线方程为，将点（2，）代入得， 即所求的双曲线方程为 …………………………………………………8分 （3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3），假设满足条件的直线存在，显然斜率存在，设方程为.因为双曲线的渐近线为时,AB与双曲线只有一个交点， 所以，因为 又因为以线段AB为直径的圆过点B1，所以 于是，所以. 故满足条件的直线存在，其方程为…………………14分 19. （本小题满分12分） 新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的. （Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求. （Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①；     ② 试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求. 参考答案： （Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是： 当时， ①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分 （Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数， 则显然恒成立                                  ……4分 而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．                                                      ……7分 ②对于函数模型： 当时，是增函数，则． ∴恒成立．                                           ………8分 设，则． 当时，，所以在上是减函数，                                                 ……10分 从而． ∴，即，∴恒成立． 故该函数模型符合公司要求．                                  ……12分 20. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I）分n=1与n≥2讨论，从而判断出{an}是等比数列，从而求通项公式； （ II）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解． 【解答】解：（ I）∵，① 当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1， 当n≥2时，∵Sn﹣1=an﹣1﹣，② ①﹣②得： an=an﹣an﹣1， 即：an=3an﹣1（n≥2）， 又∵a1=1，a2=3， ∴对n