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山西省忻州市原平新原乡乡中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量且与的夹角为钝角,则的
取值范围是 ( )
(A) [2,6] (B) (C) (D) (2,6)
参考答案:
D
略
2. 设集合,,则M∩N =( )
A. B. {2} C. {1} D. {1,2}
参考答案:
A
【分析】
根据集合中元素的意义判断即可.
【详解】由题,集合M为点的集合, N为数的集合.故.
故选:A
【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.
3. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2,P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点,设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1,e2,且=,若∠F1PF2=,则双曲线C2的渐近线方程为( )
A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.x±2y=0
参考答案:
c
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】设椭圆及双曲线的方程,根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义,求得a1=3a2,丨PF1丨=a1+a2=4a2,丨PF2丨=a1﹣a2=2a2,利用余弦定理即可求得c2=3a22,b2=a2,根据双曲线的渐近线方程,即可求得答案.
【解答】解:设椭圆C1的方程:(a1>b1>0),双曲线C2的方程:(a2>0,b2>0),
焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),
由e1=,e1=,由=,则=,则a1=3a2,
由题意的定义:丨PF1丨+丨PF2丨=2a1,丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2,
则丨PF1丨=a1+a2=4a2,丨PF2丨=a1﹣a2=2a2,
由余弦定理可知:丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF1丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos∠F1PF2,
则(2c)2=(4a2)2+(2a2)2﹣2×4a2×2a2×,
c2=3a22,b22=c2﹣a22=2a22,则b2=a2,
双曲线的渐近线方程y=±x=±x,即x±y=0,
故选:C.
4. 函数的图象大致为
参考答案:
D
5. 设复数z=﹣1﹣i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1﹣z)?|=( )
A. B.2 C. D.1
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算;复数求模.
【分析】给出z=﹣1﹣i,则,代入整理后直接求模.
【解答】解:由z=﹣1﹣i,则,
所以=.
故选A.
6. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
【分析】
如图所示:在边长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中,四棱锥满足条件,故,得到答案.
【详解】如图所示:在边长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中,四棱锥满足条件.
故,,.
故,故,.
故选:D.
【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
7. 抛物线y2=4x上有两点A,B到焦点的距离之和为7,则A,B到y轴的距离之和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A、B到y轴的距离之和.
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=﹣1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7
∴x1+x2=5,
∴A、B到y轴的距离之和为5,
故选:D.
8. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x2+1 D.y=lg|x|
参考答案:
C
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+∞)上单调递减,D在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论.
【解答】解:根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+∞)上单调递减,D在区间(0,+∞)上单调递增,
故选:C.
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
9. 函数存在零点的区间为( )
A .(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
参考答案:
D
10. 函数f(x)=+3的最大值、最小值分别为M、n,则M+n=( )
A.0 B.3 C.6 D.9
参考答案:
C
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】令g(x)=,得到g(x)为奇函数,得到g(x)max+g(x)min=0,相加可得答案.
【解答】解:∵f(x)=+3,
设g(x)=,
∴g(﹣x)==﹣g(x),
∴g(x)为奇函数,
∴g(x)max+g(x)min=0
∵M=3+g(x)max,n=3+g(x)min,
∴M+n=3+3+0=6,
故选:C.
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数,的定义域都是,直线(),与,的图象分别交于,两点,若的值是不等于的常数,则称曲线,为“平行曲线”,设(,),且,为区间的“平行曲线”,,在区间上的零点唯一,则的取值范围是 .
参考答案:
.
考点:1.新定义问题;2.函数与方程;3.导数与函数的单调性.
【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数与函数的单调性,以及学生综合运用知识的能力及运算能力,属难题;高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出现,根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步:1.判断函数的单调性;2.利用函数存在性定理,得到参数所满足的不等式;3.解不等式求参数范围.
12. 已知抛物线的焦点为F,P是的准线上一点,Q是直线PF与的一个交点.若则直线PF的方程为 。
参考答案:
或
13. 已知=
参考答案:
14. 一个几何体的三视图如图所示(单位:),则这个几何体的体积为__________
参考答案:
4
15. 包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排,则甲与乙、丙都相邻的概率为 .
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
分析:先求出基本事件总数,再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数,由此能示出甲与乙、丙都相邻的概率.
解:包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排,
基本事件总数n=,
甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m==4,
∴甲与乙、丙都相邻的概率p=.
故答案为:.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.
16. 如图,直线PC与圆O相切于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则CE= .
参考答案:
考点:与圆有关的比例线段.
专题:计算题;压轴题.
分析:在圆中线段利用由切割线定理求得PA,进而利用直角三角形PCO中的线段,结合面积法求得CE即可.
解答: 解:∵PC是圆O的切线,
∴由切割线定理得:
PC2=PA×PB,∵PC=4,PB=8,
∴PA=2,
∴OA=OB=3,连接OC,OC=3,
在直角三角形POC中,利用面积法有,
∴CE==.
故填:.
点评:此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段以及切割线定理,属于基础题.
17. 已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数,当时,,则
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
(14分)若,分别为双曲线的左右焦点,O为坐标原点,P在双曲线的左支上,M在右准线上,且满足,
(1)求此双曲线的离心率;
(2)若此双曲线过点,求该双曲线的方程;
(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为、(在y轴正半轴上),是否存在经过点的直线l与双曲线交于A,B两点,且以AB为直径的圆过点?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解析:(1)由知,四边形PF1OM为平行四边形,又由知其为菱形,设半焦距为c,由
又舍去)…………………4分
(2)因为,所以c= 2a. 设双曲线方程为,将点(2,)代入得,
即所求的双曲线方程为 …………………………………………………8分
(3)依题意得B1(0,3),B2(0,-3),假设满足条件的直线存在,显然斜率存在,设方程为.因为双曲线的渐近线为时,AB与双曲线只有一个交点,
所以,因为
又因为以线段AB为直径的圆过点B1,所以
于是,所以.
故满足条件的直线存在,其方程为…………………14分
19. (本小题满分12分)
新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于万元,同时不超过投资收益的.
(Ⅰ)设奖励方案的函数模型为,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.
(Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①; ②
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
参考答案:
(Ⅰ)由题意知,公司对奖励方案的函数模型的基本要求是:
当时,
①是增函数;②恒成立;③恒成立………3分
(Ⅱ)①对于函数模型:当时,是增函数,
则显然恒成立 ……4分
而若使函数在上恒成立,整理即恒成立,而,∴不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. ……7分
②对于函数模型:
当时,是增函数,则.
∴恒成立. ………8分
设,则.
当时,,所以在上是减函数, ……10分
从而.
∴,即,∴恒成立.
故该函数模型符合公司要求. ……12分
20. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1,其中n∈N*.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设anbn=,求数列{bn}的前n项和为Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】( I)分n=1与n≥2讨论,从而判断出{an}是等比数列,从而求通项公式;
( II)化简可得=3(﹣),利用裂项求和法求解.
【解答】解:( I)∵,①
当n=1时,a1=a1﹣,∴a1=1,
当n≥2时,∵Sn﹣1=an﹣1﹣,②
①﹣②得:
an=an﹣an﹣1,
即:an=3an﹣1(n≥2),
又∵a1=1,a2=3,
∴对n
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