河南省南阳市乡中学高一数学理月考试卷含解析

河南省南阳市乡中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列等式成立的是（　　） A．log2[（﹣3）（﹣5）]=log2（﹣3）+log2（﹣5） B．log2（﹣10）2=2log2（﹣10） C．log2[（﹣3）（﹣5）]=log23+log25 D．log2（﹣5）3=﹣log253 参考答案： C 【考点】对数的运算性质． 【分析】利用对数的运算法则判断选项即可． 【解答】解：对数的真数大于0，所以A，B不正确，D不满足对数运算法则，所以D不正确． 故选：C． 2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是(    )  A.  B. C.   D. 参考答案： D 3. 已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（　　） A．{0} B．{2} C．φ D．φ 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】找出集合B中范围中的整数解，确定出集合B，再由集合A，找出两集合的公共元素，即可确定出两集合的交集． 【解答】解：由集合B中的0≤x≤2，得到范围中的整数有0，1，2，共3个， ∴集合B={0，1，2}，又A={﹣1，2}， 则A∩B={2}． 故选B 4. 已知角的终边经过点，则的值为                  A．            B．        C．         D． 参考答案： D 5. 设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 参考答案： D 6. 已知，且为第三象限角，则的值为（    ） A．     B．    C．      D． 参考答案： B 7. 如图13－5所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) 图13－5 A．45°          B．60°           C．90°           D．120° 参考答案： B 8. 下列命题正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面       B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形           D．两条相交直线可以确定一个平面 参考答案： D 略 9. （5分）向量=（1，2），=（1，1），且与a+λ的夹角为锐角，则实数λ满足（） A． λ＜﹣ B． λ＞﹣ C． λ＞﹣且λ≠0 D． λ＜﹣且λ≠﹣5 参考答案： C 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由题意可得?（a+λ）=1+λ+2（2+λ）＞0，解不等式去掉向量同向的情形即可． 解答： ∵=（1，2），=（1，1）， ∴a+λ=（1+λ，2+λ）， ∵与a+λ的夹角为锐角， ∴?（a+λ）=1+λ+2（2+λ）＞0， 解得λ＞﹣， 但当λ=0时，与a+λ的夹角为0°，不是锐角，应舍去， 故选：C 点评： 本题考查数量积表示两向量的夹角，去掉同向是夹角问题的关键，属基础题． 10. 已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=3，则点N的坐标为（　　） A．（2，0） B．（﹣3，6） C．（6，2） D．（﹣2，0） 参考答案： A 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】设点N的坐标为（x，y），根据平面向量的坐标表示，利用向量相等列方程组，即可求出x、y的值． 【解答】解：设点N的坐标为（x，y）， 由点M（5，﹣6）得=（5﹣x，﹣6﹣y）， 又向量=（1，﹣2），且=3， 所以， 解得； 所以点N的坐标为（2，0）． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列中，成等比数列，则                ； 参考答案： 1或 12. 求满足＞的x的取值集合是            参考答案： (－2，4)  略 13. 设函数是公差为的等差数列，，则______． 参考答案： 由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得， 则， 比较两边等式得，且，解得， 所以. 14. 下列四个命题： ①方程若有一个正实根，一个负实根，则； ②函数是偶函数，但不是奇函数； ③函数的值域是，则函数的值域为； ④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是． 其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．   参考答案： ①④ 15. 函数的定义域是                      参考答案： 16. 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足：x＞0，都有f（f（x）﹣log3x）=4成立，则f（9）=　　． 参考答案： 5 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】设f（x）﹣log3x=t，根据条件求出函数f（x）的表达式，继而求出f（9）的值． 【解答】解：设f（x）﹣log3x=t， 则f（x）=log3x+t，且f（t）=4， ∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数， ∴t是常数， 则f（t）=log3t+t=4， 解得t=3， 即f（x）=log3x+3， ∴f（9）=log39+3=5， 故答案为：5． 【点评】本题考查与对数有关的复合函数的性质，值域求解．利用待定系数法先求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键． 17. 若，，则=          . 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某企业生产一种产品，根据经验，其次品率Q与日产量x（万件）之间满足关系, （其中a为常数，且，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）. （1）试将生产这种产品每天的盈利额（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润? 参考答案： （1）；（2）见解析. 【分析】 （1）运用每天的赢利为P（x）＝日产量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日产量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）与x的函数式； （2）当a＜x≤11时，求得P（x）的最大值；当1≤x≤a时，设12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a＜3时，当x＝11时，取得最大利润； 3≤a＜9时，运用复合函数的单调性可得当x＝a时取得最大利润；当9≤a≤11时，当日产量为9万件时，取得最大利润． 【详解】（1）当时，， ∴. 当时，， ∴. 综上，日盈利额（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为 ，（其中a为常数，且）. （2）当时，，其最大值为55万元. 当时，，设，则， 此时，， 显然，当且仅当，即时，有最大值，为13.5万元. 令，得， 解得（舍去）或， 则（i）当时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元. （ii）当时，时， 函数可看成是由函数与复合而成的. 因为，所以，故在上为减函数 又在上为减函数，所以在上为增函数 故当日产量为a万件时，可获得最大利润万元. （iii）当时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元. 【点睛】本题考查利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查分类讨论思想方法，是难题． 19. 已知A={﹣2，3a﹣1，a2﹣3}，B={a﹣2，a﹣1，a+1}，若A∩B={﹣2}，求a的值． 参考答案： 【考点】交集及其运算． 【分析】由A∩B={﹣2}得﹣2∈B，分a﹣2=﹣2，a﹣1=﹣2，a+1=﹣2三种情况讨论，要注意元素的互异性． 【解答】解：∵A∩B={﹣2}， ∴﹣2∈B； ∴当a﹣2=﹣2时，a=0，此时A={﹣3，﹣2，﹣1}，B={﹣2，﹣1，1}， 这样A∩B={﹣2，﹣1}与A∩B={﹣2}矛盾； 当a﹣1=﹣2时，a=﹣1，此时a2﹣1=﹣2，集合A不成立，应舍去； 当a+1=﹣2时，a=﹣3，此时A={﹣2，﹣10，6}，B={﹣5，﹣4，﹣2}，A∩B={﹣2}满足题意； ∴a=﹣3． 　 20. 如图在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A(4,4)；观光带的后一部分为线段BC．   （1）求函数为曲线段OABC的函数的解析式； （2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带仅由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？ 参考答案： （1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为， ，解得    所以，当时，           ……………3分 因为后一部分为线段BC，， 当时， ……5分 综上，             …6分 (3)设，则 由，  得，所以点      所以，绿化带的总长度      所以当时…………………………………………12分 21. 已知α∈（，π），tanα=﹣2 （1）求的值； （2）求的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦． 【分析】（1）由可求得sinα、cosα的值，利用两角和的正弦即可求得的值； （2）由sin2α=2sinαcosα=可求得cos2α的值，利用两角差的余弦可得的值． 【解答】解：（1）由得：，…， =… （2）sin2α=2sinαcosα=…，公式和结论各 …， ．…，公式和结论各 22. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，为等腰三角形，，平面PAD⊥平面ABCD，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）在平面中找的平行线；（2）转化为平面；（3）以四边形为底面，与中点的连线为高求体积. 【详解】（1）证明：取的中点，连结， ∵中，分别为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 为平行四边形， ∴ ， ∵ 平面，平面， ∴ 平面； （2）证明：∵ 平面平面，，平面平面， ∴ 平面， ∵ 平面 ∴平面平面 （3）取中点，连结， ∵平面平面及为等腰直角三角形，∴平面， 即为四棱锥的高， ∵，∴， ∴. 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明；以及锥体体积的计算.