河北省承德市峪耳崖高级中学高三数学理模拟试题含解析

河北省承德市峪耳崖高级中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“对任意的正数，不等式成立”的 （     ） A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件 C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 2. 已知集合，集合，则 （A）  （B）   （C）    （D） 参考答案： A 3. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A=（    ） A．        B．       C．       D． 参考答案： C 因为， 所以由正弦定理可得， 可得， 整理可得， 因为，所以，可得， 因为，所以，所以，故选C．   4. 已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（    ） A．      B． C．      D． 参考答案： D 考点：1.导数的运算公式；2.导数在函数单调性中的应用. 【思路点睛】因为，所以，将代入导函数可得，又，得；然后再构造辅助函数，令，又因为，所以，所以在上单调递减；据此即可判断结果. 5. 定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是（    ） A．－1            B．0              C．1              D．2 参考答案： B 6. 定义在R上的函数满足，且时， ，则 A．1      B．       C．     D． 参考答案： 【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4 【答案解析】C   解析：由，因为，所以，，所以 .故选 【思路点拨】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值． 7. 已知数列{an}满足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），a1=1，且a2+a4=10，若Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C． D． 参考答案： D 【考点】数列递推式． 【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列． 【分析】由数列递推式：2an=an﹣1+an+1（n≥2）得到{an}为等差数列，由等差数列的求和公式求出其前n项和，代入整理，根据数列的函数特征，求出最小值． 【解答】解：数列{an}满足：2an=an﹣1+an+1（n≥2）， ∴{an}为等差数列， ∵a1=1，且a2+a4=10，设公差为d， ∴1+d+1+3d=10， 解得d=2， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ∴sn==n2， ∴====n+1+﹣2 设f（x）=x+1+， 则f′（x）=1﹣=， 当0＜x＜﹣1，f′（x）＜0，函数单调递减， 当x＞﹣1，f′（x）＞0，函数单调递增， ∴当x=﹣1时，函数f（x）取的最小值， 即当n=2时，n+1+﹣2的最小值，即为3+﹣2= 故的最小值为， 故选：D 【点评】本题考查了数列递推式，关键是由递推式构造出等比数列，考查了对勾函数的图象和性质，是有一定难度题目． 8. 设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（   ） （A）“”为真命题                    （B）“”为假命题 （C）“”为假命题                      （D）以上都不对 参考答案： B 9. 对于任意实数a、b、c、d，命题①；② ③；④；⑤．其中真命题的个数是（       ） (A)1              (B)2               (C)3                 (D)4  参考答案： A 10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体， 下部的三棱柱，底面面积为：×4×3=6，高为1，体积为：6； 上部的三棱柱，底面面积为：×2×3=3，高为1，体积为：3； 故组合体的体积V=6+3=9， 故选：B 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有           参考答案： 答案：240 12. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为          .   参考答案： 略 13. 已知直角△ABC中, AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为           。 参考答案： 14. 已知不等式对于恒成立,则的取值范是     . 参考答案： [－1,+∞) 略 15. 飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔（km），飞行员先在点A处看到山顶的俯角为，继续飞行（km）后在点B处看到山顶的俯角为,试用、、、表示山顶的海拔高度为             （km）． 参考答案： （或） 16. 与直线2x－y－4＝0平行且与曲线相切的直线方程是__________． 参考答案： 略 17. 已知函数在区间(－2,－1)内单调递减，则实数a的取值范围             参考答案： [2,+∞) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知是公差不为零的等差数列，成等比数列.求： （I）数列的通项公式； （II）数列的前项和. 参考答案： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题设知，     由成等比数列,得.        ……………………… 3分     解得（舍去）,     故的通项公式为.               ……………………… 6分 （Ⅱ）由(I)知， ，      （1） ，（2）     ，得  .   …………………… 10分            所以 从而                    ……………………… 12分 略 19. （13分） 已知：f(x)=(x<-2)，f(x)的反函数为g(x),点An(an,)在曲线y=g(x)上(n∈)，且a1=1. (1)  证明数列{}为等差数列； (2) 求数列{an}的通项公式； (3) 设bn=,记Sn=b1+b2+……+bn，求Sn. 参考答案： 解析：（1）由y=得，∴ ∵x<—2，∴，∴g(x)= （x>0）    ……2分 ∵点An(an,)在曲线y=g(x)上(n∈N+)，∴=g(an)=，并且an>0 ，，∴数列{}为等差数列。                                                                   ……5分 (2)∵数列{}为等差数列，并且首项为=1，公差为4，         ∴=1+4（n—1），∴，∵an>0，∴，   ……9分 (3)bn＝=, ∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==……13分 20. 已知点H（﹣1，0），点P在y轴上，动点M满足PH⊥PM，且直线PM与x轴交于点Q，Q是线段PM的中点． （1）求动点M的轨迹E的方程； （2）若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l1，l2关于x轴对称，且l1交曲线E于A、C两点，l2交曲线E于B、D两点，A、D在第一象限，若四边形ABCD的面积等于，求直线l1，l2的方程． 参考答案： 【考点】J3：轨迹方程． 【分析】（1）由题意可知： =（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程； （2）由抛物线的焦点，设直线方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积，求出m，即可求直线l1，l2的方程． 【解答】解：（1）设M（x，y），P（0，y1）（y1≠0），Q（x1，0）， =（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1）， ∵PH⊥PM， ∴﹣x1+y′2=0，即y12=x1， 又，则，可得：y2=（x≠0）， （2）由（1）抛物线的焦点F（，0），则直线l1：x=my+（m＞0）， 则，整理得y2﹣y﹣=0， ∴yA+yC=，yAyC=﹣， 由题意，四边形ABCD是等腰梯形， ∴S=丨丨=﹣2（yA﹣yC）2（yA+yC）=， =﹣m[（yA+yC）2﹣4yAyC]=﹣， 由﹣=， 整理得：m3+m=10，（m+2）（m2﹣2m+5）=0， 则m2﹣2m+5＞0，则m=﹣2， ∴直线l1，l2的方程y=﹣x+，y=x﹣． 【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查面积的计算，属于中档题． 21. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆C交于A、B两点且为直角，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最大值. 参考答案： （1）由题意， ， ，椭圆方程为 ⑵设，，把代人，得. ， 因为为直角，所以， 得，，， ，.......10分 ， 当时，取得最大值为 试题立意：本小题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；意在考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力. 22. 已知函数（其中实数为常数）在处取得极值． （1）求的单调区间（用表示）；（2） 若在上的最大值是1，求的值． 参考答案： 解：（1） 在处取得极值，，即 ，①②③ 1         当时，，，. 的增区间是，减区间是 2         当时，或，或， 的增区间有两个：与，减区间是 ③ 当时，或，或， 的增区间有两个：与，减区间是 （2） ①当时，或，在上递增，在上递减， ②当时，，在上递增，在上递减，在上递增，   若，则与矛盾； 若，则，此时 ③当时，，在上递增，在上递减，在上递增， 而 所以，解得与矛盾. 综合①②③，得或 略