广西壮族自治区柳州市永乐中学高三数学文期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市永乐中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列中，“”是“”的  (      ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 2. 若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 考点：象限角、轴线角；三角函数值的符号． 分析：sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限． 解答： 解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限． 故选D． 点评：本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题． 3. 已知则等于 A                B               C               D 参考答案： D 4. 对于R上可导的任意函数，若满足，则必有            A．                 B．    C．                 D． 参考答案： C 即，∴分或讨论得，当时单调递增，当时单调递减，画数轴，观察得． 5. 设，则（     ）   A.    B.     C. D. 参考答案： C 6. 已知等于（    ） A．-1            B．0              C．1              D．2 参考答案： C 7. 在R上是奇函数，.(   )     A.-2           B.2             C.-98            D.98 参考答案： A 略 8. 已知向量，若与平行，则实数x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 参考答案： D 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9J：平面向量的坐标运算． 【分析】由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x的方程，解之即可． 【解答】解：由题意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x）， 因为与平行，所以3×（1﹣x）﹣（x+1）×（﹣1）=0， 解得x=2 故选D 9. 已知函数f(x)满足，则f(x)的最小值是  A．                        B．2                            C．                            D． 参考答案： C 10. 已知点是的重心，若，，则的最小值是（    ） A．         B．       C．        D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则       ；的取值范围是                .   参考答案：  ;    12. 等边△ABC的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3，…，G9，则|（）+（）+…+（）|=                。 参考答案： 【知识点】向量的加法及其几何意义 A1 因为△ABC为等边三角形，边长为2 ∴，且，= 故答案为. 【思路点拨】将所有的向量用，表示出来，再利用等边三角形的三线合一性质即可求解 13. 设G是三角形的重心，且=0，若存在实数λ，使得，，依次成等差数列，则实数λ为　　． 参考答案： 【考点】8L：数列与向量的综合；9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用G点为△ABC的重心，且=0，进一步得到用、表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可． 【解答】解：G为三角形ABC的重心，且=0， ∴?=0， 即?=0，∴b2﹣2c2﹣2bc?cosA=0． 又+=， 即+=， ∴2λ=（+）? =? =? = ==， 故λ=， 故答案为：． 14. 关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是   参考答案： 15. 若定义域为R的奇函数满足,则下列结论： ①的图像过点（1,0）； ②的图像关于直线x=1对称； ③是周期函数，且2是它的一个周期；    ④在区间（-1,1）上是单调函数； 其中正确结论的序号是             （填上你认为所有正确结论的序号） 参考答案： ①③ 16. 已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=　　． 参考答案： ﹣2 略 17. 已知锐角三角形的边长分别为2、4、x，试求x的取值范围      . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 设动点M(x, y)到直线y=3的距离与它到点F(0, 1)的距离之比为，点M的轨迹为曲线E.     （I）求曲线E的方程：     （II）过点F作直线l与曲线E交于A, B两点，且．当3时，求 直线l斜率k的取值范围· 参考答案： （Ⅰ）根据题意，|y－3|＝·． 化简，得曲线E的方程为3x2＋2y2＝6．                             …4分 （Ⅱ）直线l方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得 (2k2＋3)x2＋4kx－4＝0．                                         …6分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，                                              ① x1x2＝－．                                                ② ＝λ即(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)， 由此得x1＝－λx2．                                             ③ 由①②③，得＋＝＝．                           …9分 因为2≤λ≤3，所以≤－≤，从而≤≤2， 解不等式≤＋≤2，得≤k2≤3． 故k的取值范围是[－，－]∪[，]．                       …12分   19. 1,3,5   （本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 .函数，数列的首项. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式；   （Ⅲ）令，，求数列的前n项和. 参考答案： 解: （Ⅰ）由         ①           得         ②           ---------1分   由②—①，得   即：                 ---------2分  由于数列各项均为正数，                                         ------------3分  即  数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式是                 ----------4分 （Ⅱ）由知， 所以，                                  ------------5分 有，即，---------6分 而， 故是以为首项，公比为2的等比数列。                    ---------7分 所以                                                    ---------8分 （Ⅲ），                        -------9分 所以数列的前n项和  错位相减可得                                    ----------12分 略 20. 已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2． （1）求实数a的取值范围； （2）求证：x1?x2＞1． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），求出导数，可得f′（m）=0，f（m）=0，解得a，m，考虑由于f（x）的图象开口向上，由f′（1）=3﹣a＜0，解得a的范围即可； （2）由零点的定义，得到两个方程，同除以x，两式相减，整理化简，结合分析法，构造法，不妨设0＜x1＜1，x2＞1，即可得证． 【解答】（1）解：函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2． 考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0）， f′（x）=lnx+1+2x﹣a，则lnm+1+2m﹣a=0， 又mlnm+m2﹣am+2=0， 消去a，可得m2+m﹣2=0，解得m=1（﹣2舍去）， 则a=3， 由于f（x）的图象开口向上， 由f′（1）=3﹣a＜0，解得a＞3， 可得f（x）在（0，+∞）不单调，有两个不同的零点x1，x2． 故a的范围是（3，+∞）； （2）证明：由题意可得x1lnx1+x12﹣ax1+2=0，x2lnx2+x22﹣ax2+2=0， 即为lnx1+x1﹣a+=0，lnx2+x2﹣a+=0， 两式相减可得，lnx1﹣lnx2+x1﹣x2+=0， 即有1+=， 要证x1?x2＞1，即证＜2， 即有1+＜2， 即＜1， 即有＜0，（*） 令g（x）=lnx﹣x，g′（x）=﹣1， 当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增． 则g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值﹣1， 即有lnx﹣x＜0， 不妨设0＜x1＜1，x2＞1， 则x1﹣x2＜0，lnx1﹣x1﹣（lnx2﹣x2）＞0， 故（*）成立， 即有x1?x2＞1． 21. (本小题满分10分）设函数．   (I)解不等式；   (Ⅱ)设函数，且在上恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 22. （12分）已知函数，且函数在和处都取得极值。 （1）求实数的值； （2）求函数的极值； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（1） 由题意可知，解得 （2）由（1）知， 1 + 极大值 - 极小值 +    时，的最大值为 对于任意的，恒成立， 只需，或。   略