陕西省榆林市玉林新桥中学2023年高二数学理联考试题含解析

陕西省榆林市玉林新桥中学2023年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是(     ) A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠ 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】先根据椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出2﹣m2＞m＞0，从而求得m的范围． 【解答】解：由题意， ∴2﹣m2＞m＞0， 解得：0＜m＜1， ∴实数m的取值范围是0＜m＜1． 故选B． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解题时注意看焦点在x轴还是在y轴． 2. 棱长为2的正方体的内切球的表面积为（      ） A.           B．           C．             D． 参考答案： C 3. 函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，1） 参考答案： B 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数大于0即可． 【解答】解：函数y=x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞）， 求函数y=x2﹣2lnx的导数，得，y′=2x﹣，令y'＞0，解得x＜﹣1（舍）或x＞1， ∴函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（1，+∞） 故选：B． 4. 已知函数在(2,+∞)上不单调，则m的取值范围是（    ） A. (4,+∞) B. (－∞,4] C. (－∞,0) D. (0,+∞) 参考答案： A 【分析】 求出导函数，由在上有解且不是等根可得． 【详解】由题意， 有两个不等实根，且在上有解． ，，， ∴，即． 故选：A． 【点睛】本题考查导数与单调性．对于可导函数，一般由确定增区间，由确定减区间．因此函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．   5. 在中，若 ，，三角形的面积，则三角形外接圆的直径为（ ）      A．         B．      C．         D． 参考答案： B 略 6. 一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1-50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是(  ) （A） 抽签法     (B)系统抽样法  (C)随机数表法      (D)分层抽样法 参考答案： B 略 7. 定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设， ，，则大小关系是（　　） Ａ．      Ｂ．   Ｃ．     Ｄ． 参考答案： D 略 8. 在如图所示的程序框图中，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（    ） A.                    B.            C.                    D. 参考答案： A 9. 若关于x的不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（　　） A．e+1 B．e+ C． D． 参考答案： C 【考点】函数恒成立问题． 【分析】利用不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，利用导函数研究单调性求出a，b的关系，再次利用导函数研究单调性（a+1）b的最大值． 【解答】解：不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，令f（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，则f（x）≥0在R上恒成立． 只需要f（x）min≥0即可． f′（x）=ex﹣（a+1） 令f′（x）=0， 解得x=ln（a+1），（a＞﹣1） 当x∈（﹣∞，ln（a+1））时，f′（x）＜0，则f（x）时单调递减． 当x∈（ln（a+1），+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）时单调递增． 故x=ln（a+1）时，f（x）取得最小值 即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b 那么：（a+1）2[1﹣ln（a+1）]≥b（a+1） 令（a+1）=t，（t＞0） 则现求g（t）=t2﹣t2lnt的最大值． g′（t）= 令g′（t）=0，解得：t= 得极大值为g（）= ∴（a+1）b的最大值为． 故选C． 10. 执行如下图所示的程序框图，则输出的 A.4                    B.5              C.6                 D.7 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为      ． 参考答案： 2 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】不妨设A点在x轴上方，依题意可知A点纵坐标，代入抛物线方程求得A点纵坐标，进而求得抛物线的焦点坐标，则焦点到AB的距离可得． 【解答】解：不妨设A点在x轴上方，依题意可知yA=2， 则xA==3 而抛物线焦点坐标为（1，0） ∴AB到焦点的距离是3﹣1=2， 故答案为2 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题． 12. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________． 参考答案： 略 13. 在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于、两点，且与直线相切，则圆C的标准方程为_________. 参考答案： . 【分析】 设圆心与半径，根据条件列方程组，解得结果. 【详解】设圆：， 则，解得 14. 若直线y=x+a与曲线f（x）=x?lnx+b相切，其中a、b∈R，则b﹣a=　 　． 参考答案： 1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b﹣a的值． 【解答】解：设直线y=x+a与曲线f（x）=x?lnx+b的切点为（x0，y0）， 则有，即x0=1，b﹣a=1． 故答案为：1 15. 若椭圆+=1的焦点在x轴上，离心率e=．则m=　  　． 参考答案： 81 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程以及焦点的位置，可得a=，b==6，进而可得c的值，由椭圆离心率的计算公式可得e===，解可得m的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1且其焦点在x轴上， 那么有a=，b==6， 则c==， 其离心率e===， 解可得m=81； 故答案为：81． 【点评】本题考查椭圆的性质，掌握椭圆的离心率的计算公式是解题的关键． 16. 命题“若x2＜2，则”的逆否命题是　　． 参考答案： “若|x|≥，则x2≥2” 【考点】四种命题． 【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可． 【解答】解：命题“若x2＜2，则”的逆否命题是 “若|x|≥，则x2≥2”． 故答案为：“若|x|≥，则x2≥2”． 17. 已知椭圆（）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的取值范围为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，圆的两弦和交于点， ∥，交的延长线于点，切圆于点. （1）求证：△∽△；（2）如果=1，求的长. 参考答案： （1）证明  . ， . 又             ∽              …………………  4分 （2）解 ∽，∴=. . 又切圆于，. ..   已知.                      …………………   8分   19. 设点P在曲线上，从原点向A（2，4）移动，如果直线OP，曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、。 （Ⅰ）当时，求点P的坐标； （Ⅱ）当有最小值时，求点P的坐标和最小值。   参考答案： 解：（Ⅰ）设点P的横坐标为t(00                …………9分 所以，当时， ,P点的坐标为       …………10分 略 20. （1）的三边倒数成等差数列，求证：    （2）证明： 参考答案： （1）证明略      （2）证明略   略 21. （本小题满分12分）已知动圆过定点，且与直线相切.  (1) 求动圆的圆心的轨迹方程； (2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于不同的两点，且满足以PQ为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 参考答案： 解:（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， ……………………2分 即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，  ∴ 动点的轨迹方程为 ………………………………4分 （2）由题可设直线的方程为  由得    ………………………………6分       由，得，  设，，则，…………8分 由，即 ，，于是，   解得∴ 直线存在，其方程为 . …………………12分                   略 22. 已知函数 （1）当a=0时，求f（x）的极值； （2）若f（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值． （2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间上是增函数，则f（x）在区间上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间上恒大于0即可． 【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞） ∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则 ∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表 x （0，） （，+∞） f'（x） ﹣ 0 + f（x）   极小值   ∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值． （2）由已知，得 若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意 若a≠0∵函数f（x）区间是增函数 ∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立. 即恒成立   故 而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3． 【点评】本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．