广东省云浮市广州外国语学校高三数学理模拟试卷含解析

广东省云浮市广州外国语学校高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于 （  ） A． B． C． D． 参考答案： B 2. 定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述： ①8是函数f（x）的一个周期； ②f（x）的图象关于直线x=2对称； ③f（x）是偶函数． 其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，将x换成x+2，即可得到f（x+4）=f（x），即可判断①； 由f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），由对称性，即可判断②； 由周期性和对称性，即可得到f（﹣x）=f（x），即可判断③． 【解答】解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），即有f（x+4）=﹣f（x+2），则f（x+4）=f（x）， 即4是函数的最小正周期，故①对； 对于②，由于f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x）， 即f（x）的图象关于直线x=2对称，故②对； 对于③，由于f（4﹣x）=f（x），即有f（﹣x）=f（x+4）， 又f（x+4）=f（x），则f（﹣x）=f（x），则f（x）为偶函数，故③对． 故选D． 3. 已知全集，集合，，则等于  (A).                         (B).  (C).                             (D). 参考答案： C 4. 当双曲线M：﹣=1（﹣2＜m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（　　） A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±x 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得c2=m2+2m+4=（m+1）2+3，可得m=﹣1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率． 【解答】解：由题意可得c2=m2+2m+4=（m+1）2+3， 可得当m=﹣1时，焦距2c取得最小值， 双曲线的方程为=1， 即有渐近线方程为y=±x． 故选A． 5. 某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为(      ) A. Ks5u    B. C.  D. 参考答案： D 略 6. 为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）A． 则  B． 则 C． 则    D． 则 参考答案： D 【考点】线面位置关系 7. 过双曲线的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（    ） A．         B．       C．2         D． 参考答案： C 中， ,所以 且 =c，所以 . 根据题意有：，即离心率 . 故选C.   8. 命题若，则；是的逆命题，则（   ） A．真，真         B．真，假        C. 假，真        D．假，假 参考答案： C 9. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（   ） A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 参考答案： A 10. 复数满足，则 A.        B.        C.          D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则a＋b＋c与a的夹角是________． 参考答案： 60° 略 12. 若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为，则k=        　． 参考答案： 　1+或1﹣ 考点： 定积分． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限和积分上限，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值 解答： 解：函数的导数为f′（x）=2x+1，则f′（0）=1， 将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k﹣1， 若k＞1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]| =[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=（k﹣1）3=， 即（k﹣1）3=，即k﹣1==，即k=+1， 若k＜1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]| =﹣[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=﹣（k﹣1）3=， 即（k﹣1）3=﹣，即k﹣1=﹣=﹣，即k=1﹣， 综上k=1+或k=1﹣， 故答案为：1+或1﹣ 点评： 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题 13. 已知=     参考答案： 14. 已知函数的图象经过点A，则不等式的解集为                       参考答案： 略 15. 已知函数若函数的图象在点处的切线的倾斜角为________. 参考答案： 4 试题分析：导函数，由导数的几何意义得，解得 考点：导数的几何意义 16. 已知等比数列满足：则        ． 参考答案： . 试题分析：设等比数列的公比为，则由得，于是可得，所以，故应填. 考点：1、等比数列； 17. 在△中，角所对的边分别为，已知，，． 则=             参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数在定义域上为增函数，且满足, . (Ⅰ) 求的值;          (Ⅱ) 解不等式 参考答案： （1）        (2）               而函数f(x)是定义在上为增函数                                     即原不等式的解集为                                  19. 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求边c的大小． 参考答案： ………8分 （2）用余弦定理，得   略 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an+1＝2Sn+3(n∈N*)． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3an，若数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜1． 参考答案： （1）解：因为an+1＝2Sn+3，  ① an＝2Sn-1+3，  ② ①-②，an+1-an＝2an，即an+1＝3an(n≥2)， 所以{an}为从第2项开始的等比数列，且公比q＝3． 又a1＝3，所以a2＝9，所以数列{an}的通项公式an＝3n(n≥2)． 当n＝1时，a1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n． （2）证明：由（1）知bn＝log3an＝log33n＝n， 所以， 所以 得证．   21. 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p为真，且q为假，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】利用“三个二次”的关系和指数函数的单调性对命题p、q进行化简，再根据p为真且q为假，即可求出a的取值范围． 【解答】解：①对于命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，∴△=4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2． ②对于命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，∴3﹣2a＞1，解得a＜1． ∵p为真，且q为假，∴，解得1≤a＜2． 故a的取值范围是上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}． （1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值； （2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值． 【答案】 【解析】【考点】二次函数的图象；二次函数的性质． 【专题】综合题；数形结合法． 【分析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在上根据函数的图象可知m和M的值． （2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣﹣1，根据g（a）的在，根据函数图象可知，当x=1时， f（x）min=f（1）=1，即m=1； 当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．   （2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1， 根据韦达定理得到：，即， ∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈其对称轴方程为x==1﹣ 又a≥1，故1﹣ ∴M=f（﹣2）=9a﹣2 m= 则g（a）=M+m=9a﹣﹣1 又g（a）在区间 因为ω=2，所以 （Ⅱ） 因为，所以， 则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0 则b=2 从而 【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大． 22. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值范围． 参考答案： （1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得． 试题解析：（1）当时，不等式等价于.① 当时，①式化为，无解； 当时，①式化为，从而； 当时，①式化为，从而. 所以的解集为. （2）当时，. 所以的解集包含，等价于当时. 又在的最小值必为与之一，所以且，得. 所以的取值范围为. 点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．