2022年河南省周口市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.若函数f(x)=5x，则f'(x)=A.5x-1B.x5x-1C.5xln5D.5x2. 3.4. 设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)>0，f(1)<0，则下列选项正确的是A.f(x)在[0，1]上可能无界B.f(x)在[0，1]上未必有最小值C.f(x)在[0，1]上未必有最大值D.方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根5. 6.二次积分等于( )A.A.B.C.D.7. 8. 9.A.(2+X)^2 B.3(2+X)^2 C.(2+X)^4 D.3(2+X)^410.如图所示两楔形块A、B自重不计，二者接触面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用，则( )A.A平衡，B不平衡 B.A不平衡，B平衡 C.A、B均不平衡 D.A、B均平衡11.（ ）A.A.1/2 B.1 C.2 D.e12. 设f(x)的一个原函数为x2，则f'(x)等于( )．A.B.x2C.2xD.213. 14.设z=x2+y2，dz=( )。
A.2ex2+y2(xdx+ydy)B.2ex2+y2(zdy+ydx)C.ex2+y2(xdx+ydy)D.2ex2+y2(dx2+dy2)15.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中( )．A.A.至少有一条平行于x轴 B.至少有一条平行于y轴 C.没有一条平行于x轴 D.可能有一条平行于y轴16. 17.微分方程y"-y'=0的通解为( )A.B.C.D.18. A.3(x+y)B.3(x+y)2C.6(x+y)D.6(x+y)219.摇筛机如图所示，已知O1B=O2B=0．4m，O1O2=AB，杆O1A按规律摆动，(式中∮以rad计，t以s计)则当t=0和t=2s时，关于筛面中点M的速度和加速度就散不正确的一项为( )A.当t=0时，筛面中点M的速度大小为15．7cm／sB.当t=0时，筛面中点M的法向加速度大小为6．17cm／s2C.当t=2s时，筛面中点M的速度大小为0D.当t=2s时，筛面中点M的切向加速度大小为12．3cm／s220.（）A.B.C.D.二、填空题(20题)21.22.23. 24.25.26. 27.设y=2x+sin2，则y'=______．28. 29.过坐标原点且与平面3x-7y+5z-12 = 0平行的平面方程为_________.30.31.32.方程y'-ex-y=0的通解为_____.33.34.设y＝sin(2＋x)，则dy＝ ．35.设z=xy，则dz=______.36. 37. 38.39.40. 三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．42. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．43.44.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．46.47. 48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值．49.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?50. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．51.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．52. 求微分方程的通解．53.54. 55. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56.57. 58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．59. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．60.证明：四、解答题(10题)61.62.63. 64.65.设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴,在第一象限围成的有界区域.求: (1)D的面积S; (2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.66.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.67.68.69.求y"-2y'=2x的通解．70.设z=z(x，y)由方程ez-xy2+x+z=0确定，求dz．五、高等数学(0题)71.求的极值。
六、解答题(0题)72.参考答案1.C本题考查了导数的基本公式的知识点 f'(x)=(5x)'=5xln5.2.D解析：3.C4.D5.C解析：6.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：0≤x≤1， 0≤y≤1-x，其图形如图1-1所示．交换积分次序，D可以表示为0≤y≤1， 0≤x≤1-y，因此可知应选A．7.A8.B解析：9.B10.C11.C12.D解析：本题考查的知识点为原函数的概念．由于x2为f(x)的原函数，因此f(x)=(x2)'=2x，因此f'(x)=2．可知应选D．13.C解析：14.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y ∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy15.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．16.B17.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。
微分方程为 y"-y'=0特征方程为 r2-r=0特征根为 r1=1，r2=0方程的通解为 y=C1ex+c2可知应选B18.C 因此选C．19.D20.C由不定积分基本公式可知21.22.本题考查的知识点为二元函数的偏导数．23.33 解析：24.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，25.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)26.y=f(0)27.2xln2本题考查的知识点为初等函数的求导运算．本题需利用导数的四则运算法则求解．Y'=(2x+sin2)'=(2x)'+(sin2)'=2xln2．本题中常见的错误有(sin2)'=cos2．这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为一个常数，而常数的导数为0，即(sin2)'=0．相仿(cos3)'=0，(ln5)'=0，(e1/2)'=0等．请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．28.3e3x3e3x 解析：29.3x-7y+ 5z= 0本题考查了平面方程的知识点 已知所求平面与3x-7y+5z-12=0平行,则其法向量为(3,-7,5),故所求方程为3(x-0) +(-7)(y-0)+5(z-0) = 0,即3x-7y+5z= 0.30. 31.e-1/232.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改写为eydy=exdx，两边积分得ey=ex+C.33.34.cos(2＋x)dx这类问题通常有两种解法．解法1因此dy＝cos(2＋x)dx．解法2利用微分运算公式dy＝d(sin(2＋x))＝cos(2＋x)·d(2＋x)＝cos(2＋x)dx．35.yxy-1dx+xylnxdy36.37.(1+x)238.1．本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．由于f(1)=2，可知39.本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．40.241.42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为43.44.由等价无穷小量的定义可知45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，46.47.则48.49.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％50.51.由二重积分物理意义知52.53.54.55. 函数的定义域为注意56.57. 由一阶线性微分方程通解公式有58.列表：说明59.60.61.62.63.64.65.66.注：本题关键是确定积分区间，曲线为y2=(x-1)3.由y2≥0知x-1≥0即x≥1，又与直线x=2所围成的图形，所以积分区间为[1，2].67.68.69.y"-2y'=x为二阶常系数线性微分方程．特征方。